Examkin

Question

Difficulty: HardKoni

Taban yarıçapı 9 cm9\text{ cm} ve yüksekliği 15 cm15\text{ cm} olan dik dairesel koni biçimindeki boş bir kabın içine, tabanı koninin tabanı ile aynı düzlemde olan bir dik dairesel silindir yerleştiriliyor. Silindirin üst tabanının çevresi, koninin yanal yüzeyine temas etmektedir.

Silindirin hacmi, koninin hacminin 49\frac{4}{9}'una eşit olduğuna göre, silindirin yüksekliği kaç cm\text{cm}'dir?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 5Answer
  4. D
    6
  5. E
    10

Answer

Silindirin yüksekliği 5 cm olmalıdır.
Koninin hacmi hesaplanıp benzerlikten türetilen silindir hacim formülüne eşitlendiğinde elde edilen (15−h)2h=500(15-h)^2 h = 500 denklemini sağlayan geçerli yükseklik değeri 5 cm'dir.

Step-by-Step Solution

1
Koninin hacmini formülü kullanarak hesaplayalım.
Vkoni=13πR2H=13π⋅92⋅15=405π cm3V_{\text{koni}} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 9^2 \cdot 15 = 405\pi\text{ cm}^3 bulunur.
Silindirin hacmi ile kıyaslama yapabilmek için öncelikle koninin toplam hacmini bulmamız gerekir.
2
Silindirin yarıçapı ile yüksekliği arasındaki ilişkiyi benzerlik yardımıyla kuralım.
Silindirin yarıçapı rr ve yüksekliği hh olsun. Koninin yanal yüzeyindeki benzerlikten r9=15−h15  ⟹  r=3(15−h)5\frac{r}{9} = \frac{15-h}{15} \implies r = \frac{3(15-h)}{5} elde edilir.
Silindirin üst taban çemberi koninin yanal yüzeyine değdiği için benzer üçgenler oluşur.
3
Silindirin hacmini veren ifadeyi koninin hacminin 49\frac{4}{9}'una eşitleyelim.
Vsilindir=πr2h=π(3(15−h)5)2h=9π25(15−h)2hV_{\text{silindir}} = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{3(15-h)}{5}\right)^2 h = \frac{9\pi}{25}(15-h)^2 h olur. Bu hacim 49⋅405π=180π\frac{4}{9} \cdot 405\pi = 180\pi değerine eşitlenir.
Soruda silindirin hacminin koninin hacminin 49\frac{4}{9}'una eşit olduğu belirtilmiştir.
4
Elde edilen denklemi sadeleştirip yüksekliği (hh) bulalım.
9π25(15−h)2h=180π  ⟹  (15−h)2h=500\frac{9\pi}{25}(15-h)^2 h = 180\pi \implies (15-h)^2 h = 500 denklemi elde edilir. Bu denklemi sağlayan hh değeri 5 olarak bulunur (102⋅5=50010^2 \cdot 5 = 500).
Silindir yüksekliğinin koni sınırları içerisinde (0<h<150 < h < 15) kalan fiziksel kökünü bulmak gerekir.

Key Concept

Dik dairesel koni içine yerleştirilen cisimlerde benzerlik oranı ve hacim hesaplama ilişkisi

Hints

1
Silindirin üst taban dairesinin köşeleri koninin yanal yüzeyine değdiği için koninin yüksekliği ve yarıçapı ile silindirin yüksekliği ve yarıçapı arasında benzerlik kurabilirsiniz.
2
Koninin tepe noktasından silindirin üst tabanına olan uzaklık 15−h15-h kadardır. Buradan benzerlik oranını r9=15−h15\frac{r}{9} = \frac{15-h}{15} şeklinde yazarak rr'yi hh cinsinden ifade edin.
3
Silindirin hacmi V=πr2hV = \pi r^2 h formülüyle bulunur. Elde ettiğiniz rr'yi bu formülde yerine yazarak hacmi koninin hacminin 49\frac{4}{9}'una eşitleyin ve oluşan h(15−h)2=500h(15-h)^2 = 500 denklemini çözün.

Practice More

Benzer bir mantıkla, koni içine yerleştirilen maksimum hacimli silindirin yüksekliğinin koninin yüksekliğinin kaçta kaçı olduğunu bulmaya çalışabilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak, seçeneklerdeki değerleri tek tek deneyerek hangisinin hacim oranını 49\frac{4}{9} yaptığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin h = 5 için r = 6 olur; silindir hacmi 180π180\pi, koni hacmi ise 405π405\pi'dir. Oran 180/405=4/9180/405 = 4/9 olarak doğrudan doğrulanır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Koni

More questions from this topic