Koni Practice Questions — ALES

Question 1Question →

Yan yüzeyinin açınımı yapıldığında merkez açısı $288^\circ$ ve yarıçapı (ana doğrusunun uzunluğu) $15\text{ cm}$ olan bir daire dilimi elde edilen dik dairesel koni, tabanına paralel bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor.

Oluşan küçük koninin yanal alanının, geriye kalan kesik koninin yanal alanına oranı $\frac{4}{5}$ olduğuna göre, bu kesik koninin hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ tür?

128

228

240

304

912

Show answer & explanation

Answer: 304

Answer

Kesik koninin hacmi

304\pi\text{ cm}^3

tür.

Doğru cevap olan 304 seçeneği, koninin açınım bağıntısı kullanılarak hesaplanan taban yarıçapı (

12\text{ cm}

) ve Pisagor bağıntısı ile bulunan yükseklik (

9\text{ cm}

) yardımıyla toplam hacmin (

432\pi\text{ cm}^3

) elde edilmesi, ardından yanal alanlar oranından bulunan benzerlik oranının küpü (

k^3 = 8/27

) ile kesik koni hacim oranının (

19/27

) çarpılması sonucu doğru bir şekilde hesaplanmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Koninin yan yüzeyinin açınımı kullanılarak taban yarıçapını bulma.

r = 12\text{ cm}

Yan yüzeyin açınımındaki daire diliminin merkez açısı

\theta = 288^\circ

ve ana doğrusu

a = 15\text{ cm}

olduğundan,

\frac{r}{a} = \frac{\theta}{360^\circ}

bağıntısı kullanılır. Buradan

r = 15 \cdot \frac{288}{360} = 12\text{ cm}

elde edilir.

2

Koninin yüksekliğini bulma.

h = 9\text{ cm}

Dik konide taban yarıçapı (

r

), yükseklik (

h

) ve ana doğru (

a

) dik üçgen oluşturur. Pisagor bağıntısı (

h^2 + r^2 = a^2

) uyguland��ğında:

h^2 + 12^2 = 15^2 \implies h^2 = 225 - 144 = 81 \implies h = 9\text{ cm}

bulunur.

3

Tüm koninin hacmini hesaplama.

V = 432\pi\text{ cm}^3

Koninin hacim formülü

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

şeklindedir. Bulunan değerler formülde yerine yazıldığında:

V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 9 = 3\pi \cdot 144 = 432\pi\text{ cm}^3

elde edilir.

4

Benzerlik oranını yanal alanlar oranından belirleme.

k = \frac{2}{3}

Küçük koninin yanal alanının kesik koninin yanal alanına oranı

\frac{4}{5}

ise, küçük koninin yanal alanının tüm koninin yanal alanına oranı

\frac{4}{4+5} = \frac{4}{9}

olur. Benzer iki katı cismin alanları oranı benzerlik oranının karesine eşit olduğundan,

k^2 = \frac{4}{9} \implies k = \frac{2}{3}

bulunur.

5

Kesik koninin hacmini hesaplama.

V_f = 304\pi\text{ cm}^3

Benzer katı cisimlerin hacimleri oranı benzerlik oranının küpüne eşittir. Küçük koninin hacminin tüm koninin hacmine oranı

k^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}

olur. Dolayısıyla geriye kalan kesik koninin hacmi, tüm koninin hacminin

1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}

'sidir. Buradan kesik koninin hacmi

V_f = \frac{19}{27} \cdot 432\pi = 19 \cdot 16\pi = 304\pi\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Key Concept

Koni benzerliği, yanal alan ve hacim oranları ile açınım bağıntıları

Alternative Method

Kesik koninin hacmi, kesik koni hacim formülü olan

V_f = \frac{1}{3}\pi h_f (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)

formülü ile doğrudan hesaplanabilir. Burada kesik koninin yüksekliği

h_f = h - h_1 = 9 - 6 = 3\text{ cm}

, alt taban yarıçapı

r_1 = 12\text{ cm}

ve üst taban yarıçapı

r_2 = 8\text{ cm}

'dir. Formülde yerine yazıldığında:

V_f = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot (12^2 + 8^2 + 12 \cdot 8) = \pi \cdot (144 + 64 + 96) = 304\pi\text{ cm}^3

elde edilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 2Question →

Yanal alanı $15\pi\text{ cm}^2$ ve taban yarıçapı $3\text{ cm}$ olan bir dik dairesel koninin hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ tür?

6

8

12

24

36

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Doğru yanıt 12 sayısıdır.

Doğru yanıt olan seçenek, koninin yanal alan formülünden elde edilen ana doğru uzunluğu (

5\text{ cm}

) ve dik üçgen bağıntısından elde edilen yükseklik (

4\text{ cm}

) yardımıyla hacmin

12\pi\text{ cm}^3

olduğunu doğru bir şekilde göstermektedir.

Step-by-Step Solution

1

Koninin ana doğrusunu (

a

) bulma

a = 5\text{ cm}

Koninin yanal alan formülü

A_{\text{yan}} = \pi \cdot r \cdot a

şeklindedir. Verilenleri yerine yazarsak,

15\pi = \pi \cdot 3 \cdot a \implies a = 5\text{ cm}

bulunur.

2

Koninin yüksekliğini (

h

) bulma

h = 4\text{ cm}

Dik konide yükseklik (

h

), taban yarıçapı (

r

) ve ana doğru (

a

) arasında Pisagor bağıntısı vardır:

h^2 + r^2 = a^2

. Buradan

h^2 + 3^2 = 5^2 \implies h = 4\text{ cm}

elde edilir.

3

Koninin hacmini (

V

) hesaplama

V = 12\pi\text{ cm}^3

Koninin hacim formülü

V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h

şeklindedir. Değerleri yerine koyduğumuzda

V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 12\pi\text{ cm}^3

bulunur.

Key Concept

Dik dairesel koninin yanal alanı, yüksekliği ve hacmi arasındaki geometrik bağıntılar.

Estimated Time:1m 30s

Question 3Question →

Bir dik dairesel koninin yan yüzeyi açıldığında elde edilen daire diliminin merkez açısı $216^\circ$ ve bu daire diliminin yarıçapı $10\text{ cm}$ 'dir. Bu koni, yüksekliğinin tam ortasından tabanına paralel bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor.

Buna göre, elde edilen alttaki kesik koninin hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ tür?

48

72

84

96

252

Show answer & explanation

Answer: 84

Answer

Kesik koninin hacmi

84\pi\text{ cm}^3

olarak hesaplanır.

Verilen merkez açısı ve daire dilimi yarıçapı kullanılarak koninin ana doğrusunun

10\text{ cm}

ve taban yarıçapının

6\text{ cm}

olduğu tespit edilir. Pisagor bağıntısı yardımıyla koninin yüksekliği

8\text{ cm}

olarak bulunur. Tüm koninin hacmi

96\pi\text{ cm}^3

tür. Koni yüksekliğinin tam ortasından paralel bir düzlemle kesildiğinde oluşan benzerlik oranı

\frac{1}{2}

'dir. Hacimler oranı benzerlik oranının küpü olacağından, üstteki küçük koninin hacmi tüm koninin hacminin

\frac{1}{8}

'idir. Alttaki kesik koninin hacmi ise tüm hacmin

\frac{7}{8}

'i olup

84\pi\text{ cm}^3

değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Koninin taban yarıçapının (

r

) bulunması.

r = 6\text{ cm}

Koninin yan yüzeyinin açınımı olan daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusuna (

a = 10\text{ cm}

) eşittir. Taban yarıçapı ile ana doğru arasındaki ilişki

\frac{r}{a} = \frac{\theta}{360^\circ}

formülüyle bulunur. Buradan

\frac{r}{10} = \frac{216^\circ}{360^\circ} \implies r = 6\text{ cm}

elde edilir.

2

Koninin yüksekliğinin (

h

) bulunması.

h = 8\text{ cm}

Koni yüksekliği, taban yarıçapı ve ana doğru arasında bir dik üçgen ilişkisi vardır (

h^2 + r^2 = a^2

). Buradan

h^2 + 6^2 = 10^2 \implies h^2 = 64 \implies h = 8\text{ cm}

bulunur.

3

Koninin toplam hacminin (

V

) hesaplanması.

V = 96\pi\text{ cm}^3

Koni hacim formülü

V = \frac{1}{3} \pi r^2 h

şeklindedir. Değerler yerine yazıldığında

V = \frac{1}{3} \pi (6^2) (8) = 96\pi\text{ cm}^3

hesaplanır.

4

Kesik koninin hacminin benzerlik ilişkisiyle bulunması.

V_{\text{kesik}} = 84\pi\text{ cm}^3

Koni, yüksekliğinin tam ortasından (

k = \frac{1}{2}

benzerlik oranıyla) kesildiğinde, üstte oluşan küçük koninin hacminin tüm koninin hacmine oranı

k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}

olur. Bu durumda alttaki kesik koninin hacmi toplam hacmin

1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

'ine eşit olur. Buradan

V_{\text{kesik}} = \frac{7}{8} \times 96\pi = 84\pi\text{ cm}^3

elde edilir.

Key Concept

Koni hacmi, açınım özellikleri ve katı cisimlerde benzerlik-hacim ilişkisi.

Estimated Time:2m 30s

Question 4Question →

Taban yarıçapı $3\text{ cm}$ ve ana doğrusunun (yanal ayrıtının) uzunluğu $5\text{ cm}$ olan bir dik dairesel koninin hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ tür?

9

12

15

24

36

Show answer & explanation

Answer: $12$

Answer

Koninin hacmi

12\pi\text{ cm}^3

tür.

Dik dairesel konide yarıçap, yükseklik ve ana doğru arasında bir dik üçgen ilişkisi vardır (

3-4-5

üçgeni). Bu ilişkiden yükseklik

4\text{ cm}

olarak bulunur. Koninin hacim formülü olan

V = \frac{1}{3} \pi r^2 h

uygulandığında hacim

12\pi\text{ cm}^3

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Koninin yüksekliğini bulmak için dik üçgen bağıntısını uygulayın.

Yükseklik

h = 4\text{ cm}

olarak bulunur.

Dik dairesel konide taban yarıçapı (

r

), yükseklik (

h

) ve ana doğru uzunluğu (

a

) arasında

r^2 + h^2 = a^2

bağıntısı vardır. Buradan

3^2 + h^2 = 5^2 \Rightarrow 9 + h^2 = 25 \Rightarrow h^2 = 16 \Rightarrow h = 4\text{ cm}

elde edilir.

2

Bulunan yükseklik ve taban yarıçapı değerlerini koninin hacim formülünde yerine yazın.

Hacim

V = 12\pi\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Koninin hacmi

V = \frac{1}{3} \pi r^2 h

formülüyle hesaplanır. Değerleri yerine koyduğumuzda

V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi\text{ cm}^3

elde edilir.

Key Concept

Dik dairesel konide yükseklik, taban yarıçapı ve ana doğru arasındaki ilişkiyi kullanarak hacim hesaplama.

Hints

1

Bir dik dairesel konide taban yarıçapı, yükseklik ve yanal ayrıt (ana doğru) bir dik üçgen oluşturur.

2

Yarıçapı

3\text{ cm}

ve hipotenüsü

5\text{ cm}

olan dik üçgenin diğer dik kenarı (yani koninin yüksekliği) kaç cm olur? Buradan yüksekliği bulun.

3

Yüksekliği

4\text{ cm}

bulduktan sonra, koninin hacmini

V = \frac{1}{3} \pi r^2 h

formülünü kullanarak hesaplayın.

Practice More

Benzer şekilde, yüksekliği ve yarıçapı verilen bir koninin yanal alanını veya yüzey alanını bulma sorularını çözebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 5Question →

Taban yarıçapı $6\text{ cm}$ ve yüksekliği $8\text{ cm}$ olan bir dik dairesel koni, tabanına paralel bir düzlemle yüksekliğinin tam ortasından kesilerek iki parçaya ayrılıyor.

Buna göre, üstte kalan küçük koninin hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ tür?

24

12

36

48

84

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Küçük koninin hacmi 12 π cm³tür.

Büyük koninin hacmi

V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = 96\pi\text{ cm}^3

olarak bulunur. Yüksekliğin tam ortasından kesilmesiyle oluşan küçük koni ile büyük koni arasındaki benzerlik oranı

1/2

ve hacimleri oranı

\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}

olur. Buradan küçük koninin hacmi

96\pi \cdot \frac{1}{8} = 12\pi\text{ cm}^3

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Büyük koninin hacmini hesaplayınız.

V_{\text{büyük}} = 96\pi\text{ cm}^3

Koninin taban yarıçapı

r = 6\text{ cm}

ve yüksekliği

h = 8\text{ cm}

olduğundan, dik koni hacim formülü olan

V = \frac{1}{3} \pi r^2 h

uygulanarak toplam hacim bulunur.

2

Kesit düzleminin oluşturduğu benzerlik oran��nı belirleyiniz.

k = \frac{1}{2}

Koni yükseklik ekseni boyunca tam ortadan kesildiği için küçük koninin yüksekliğinin büyük koninin yüksekliğine oranı benzerlik oranını verir:

4 / 8 = 1/2

.

3

Benzerlik oranını kullanarak küçük koninin hacmini hesaplayınız.

V_{\text{küçük}} = 12\pi\text{ cm}^3

Benzer katı cisimlerin hacimleri oranı, aralarındaki benzerlik oranının küpüne eşittir. Hacimler oranı

k^3 = (1/2)^3 = 1/8

olup, küçük koninin hacmi büyük koninin hacminin 1/8'i kadardır.

Key Concept

Konide Benzerlik ve Hacim İlişkisi

Question 6Question →

Taban yarıçapı $9\text{ cm}$ ve yüksekliği $15\text{ cm}$ olan dik dairesel koni biçimindeki boş bir kabın içine, tabanı koninin tabanı ile aynı düzlemde olan bir dik dairesel silindir yerleştiriliyor. Silindirin üst tabanının çevresi, koninin yanal yüzeyine temas etmektedir.

Silindirin hacmi, koninin hacminin $\frac{4}{9}$ 'una eşit olduğuna göre, silindirin yüksekliği kaç $\text{cm}$ 'dir?

3

4

5

6

10

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Silindirin yüksekliği 5 cm olmalıdır.

Koninin hacmi hesaplanıp benzerlikten türetilen silindir hacim formülüne eşitlendiğinde elde edilen

(15-h)^2 h = 500

denklemini sağlayan geçerli yükseklik değeri 5 cm'dir.

Step-by-Step Solution

1

Koninin hacmini formülü kullanarak hesaplayalım.

V_{\text{koni}} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 9^2 \cdot 15 = 405\pi\text{ cm}^3

bulunur.

Silindirin hacmi ile kıyaslama yapabilmek için öncelikle koninin toplam hacmini bulmamız gerekir.

2

Silindirin yarıçapı ile yüksekliği arasındaki ilişkiyi benzerlik yardımıyla kuralım.

Silindirin yarıçapı

r

ve yüksekliği

h

olsun. Koninin yanal yüzeyindeki benzerlikten

\frac{r}{9} = \frac{15-h}{15} \implies r = \frac{3(15-h)}{5}

elde edilir.

Silindirin üst taban çemberi koninin yanal yüzeyine değdiği için benzer üçgenler oluşur.

3

Silindirin hacmini veren ifadeyi koninin hacminin

\frac{4}{9}

'una eşitleyelim.

V_{\text{silindir}} = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{3(15-h)}{5}\right)^2 h = \frac{9\pi}{25}(15-h)^2 h

olur. Bu hacim

\frac{4}{9} \cdot 405\pi = 180\pi

değerine eşitlenir.

Soruda silindirin hacminin koninin hacminin

\frac{4}{9}

'una eşit olduğu belirtilmiştir.

4

Elde edilen denklemi sadeleştirip yüksekliği (

h

) bulalım.

\frac{9\pi}{25}(15-h)^2 h = 180\pi \implies (15-h)^2 h = 500

denklemi elde edilir. Bu denklemi sağlayan

h

değeri 5 olarak bulunur (

10^2 \cdot 5 = 500

).

Silindir yüksekliğinin koni sınırları içerisinde (

0 < h < 15

) kalan fiziksel kökünü bulmak gerekir.

Key Concept

Dik dairesel koni içine yerleştirilen cisimlerde benzerlik oranı ve hacim hesaplama ilişkisi

Hints

1

Silindirin üst taban dairesinin köşeleri koninin yanal yüzeyine değdiği için koninin yüksekliği ve yarıçapı ile silindirin yüksekliği ve yarıçapı arasında benzerlik kurabilirsiniz.

2

Koninin tepe noktasından silindirin üst tabanına olan uzaklık

15-h

kadardır. Buradan benzerlik oranını

\frac{r}{9} = \frac{15-h}{15}

şeklinde yazarak

r

'yi

h

cinsinden ifade edin.

3

Silindirin hacmi

V = \pi r^2 h

formülüyle bulunur. Elde ettiğiniz

r

'yi bu formülde yerine yazarak hacmi koninin hacminin

\frac{4}{9}

'una eşitleyin ve oluşan

h(15-h)^2 = 500

denklemini çözün.

Practice More

Benzer bir mantıkla, koni içine yerleştirilen maksimum hacimli silindirin yüksekliğinin koninin yüksekliğinin kaçta kaçı olduğunu bulmaya çalışabilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak, seçeneklerdeki değerleri tek tek deneyerek hangisinin hacim oranını

\frac{4}{9}

yaptığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin h = 5 için r = 6 olur; silindir hacmi

180\pi

, koni hacmi ise

405\pi

'dir. Oran

180/405 = 4/9

olarak doğrudan doğrulanır.

Estimated Time:2m 30s

Question 7Question →

Bir dik dairesel koninin yan yüzeyi düzleme açıldığında elde edilen daire diliminin merkez açısı $216^\circ$ ve yarıçapı (ana doğrusunun uzunluğu) $15\text{ cm}$ 'dir. Bu koni, tabanına paralel bir düzlemle kesilerek üstte kalan küçük koninin yüksekliğinin altta kalan kesik koninin yüksekliğine oranı $2$ olacak şekilde iki parçaya ayrılıyor.

Buna göre, elde edilen kesik koninin hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ tür?

75

108

180

228

684

Show answer & explanation

Answer: 228

Answer

Elde edilen kesik koninin hacmi

228\pi\text{ cm}^3

tür.

Doğru cevap

228

değeridir. Koninin yanal yüzey açınımından taban yarıçapı

r = 15 \cdot \frac{216}{360} = 9\text{ cm}

ve Pisagor teoremi yardımıyla yüksekliği

H = 12\text{ cm}

bulunur. Yükseklikler oranı kullanılarak benzerlik oranı

k = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

belirlenir. Hacimler oranı

k^3 = \frac{8}{27}

olduğundan kesik koninin hacmi toplam hacmin

\frac{19}{27}

'sidir. Toplam hacim

324\pi\text{ cm}^3

olduğundan kesik koninin hacmi

228\pi\text{ cm}^3

olur.

Step-by-Step Solution

1

Koninin taban yarıçapını bulma

r = 9\text{ cm}

Yanal yüzey açınımındaki taban yarıçapı (

r

), ana doğru uzunluğu (

a

) ve merkez açı (

\alpha

) ili��kisi

r = a \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}

formülüyle bulunur. Buradan

r = 15 \cdot \frac{216}{360} = 9\text{ cm}

elde edilir.

2

Koninin yüksekliğini hesaplama

H = 12\text{ cm}

Dik konide taban yarıçapı (

r

), yükseklik (

H

) ve ana doğru (

a

) arasında Pisagor bağıntısı (

r^2 + H^2 = a^2

) geçerlidir.

9^2 + H^2 = 15^2 \Rightarrow H = 12\text{ cm}

(9-12-15 özel dik üçgeni) bulunur.

3

Küçük koni ve kesik koninin yüksekliklerini belirleme

h_{\text{küçük}} = 8\text{ cm}

,

h_{\text{kesik}} = 4\text{ cm}

Üstte kalan küçük koninin yüksekliğinin altta kalan kesik koninin yüksekliğine oranı

2

olarak verilmiştir (

h_{\text{küçük}} = 2 \cdot h_{\text{kesik}}

). Toplam yükseklik

H = 12\text{ cm}

olduğuna göre,

3 \cdot h_{\text{kesik}} = 12 \Rightarrow h_{\text{kesik}} = 4\text{ cm}

ve

h_{\text{küçük}} = 8\text{ cm}

bulunur.

4

Toplam koni hacmini hesaplama

V_{\text{toplam}} = 324\pi\text{ cm}^3

Koni hacim formülü

V = \frac{1}{3} \pi R^2 H

yardımıyla, orijinal koninin hacmi

V_{\text{toplam}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 9^2 \cdot 12 = 324\pi\text{ cm}^3

olarak hesaplanır.

5

Kesik koninin hacmini bulma

V_{\text{kesik}} = 228\pi\text{ cm}^3

Benzer konilerin hacimleri oranı, benzerlik oranının küpüne eşittir. Benzerlik oranı

k = \frac{h_{\text{küçük}}}{H} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

'tür. Hacimler oranı

k^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}

olur. Bu durumda üstteki küçük koninin hacmi

V_{\text{küçük}} = \frac{8}{27} V_{\text{toplam}}

ve kesik koninin hacmi

V_{\text{kesik}} = \left(1 - \frac{8}{27}\right) V_{\text{toplam}} = \frac{19}{27} \cdot 324\pi = 19 \cdot 12\pi = 228\pi\text{ cm}^3

olarak hesaplanır.

Key Concept

Konide yanal yüzey açınımı elemanları arasındaki ilişki, yükseklik bağıntısı ve paralel kesitlerle oluşan konilerde benzerlik oranı ile hacim oranı (

k^3

) ilişkisi.

Koni

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes