Examkin

Question

Difficulty: HardKoni

Bir dik dairesel koninin yan yüzeyi açıldığında elde edilen daire diliminin merkez açısı 216∘216^\circ ve bu daire diliminin yarıçapı 10 cm10\text{ cm}'dir. Bu koni, yüksekliğinin tam ortasından tabanına paralel bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor.

Buna göre, elde edilen alttaki kesik koninin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 tür?

  1. A
    48
  2. B
    72
  3. 84Answer
  4. D
    96
  5. E
    252

Answer

Kesik koninin hacmi 84π cm384\pi\text{ cm}^3 olarak hesaplanır.
Verilen merkez açısı ve daire dilimi yarıçapı kullanılarak koninin ana doğrusunun 10 cm10\text{ cm} ve taban yarıçapının 6 cm6\text{ cm} olduğu tespit edilir. Pisagor bağıntısı yardımıyla koninin yüksekliği 8 cm8\text{ cm} olarak bulunur. Tüm koninin hacmi 96π cm396\pi\text{ cm}^3 tür. Koni yüksekliğinin tam ortasından paralel bir düzlemle kesildiğinde oluşan benzerlik oranı 12\frac{1}{2}'dir. Hacimler oranı benzerlik oranının küpü olacağından, üstteki küçük koninin hacmi tüm koninin hacminin 18\frac{1}{8}'idir. Alttaki kesik koninin hacmi ise tüm hacmin 78\frac{7}{8}'i olup 84π cm384\pi\text{ cm}^3 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Koninin taban yarıçapının (rr) bulunması.
r=6 cmr = 6\text{ cm}
Koninin yan yüzeyinin açınımı olan daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusuna (a=10 cma = 10\text{ cm}) eşittir. Taban yarıçapı ile ana doğru arasındaki ilişki ra=θ360∘\frac{r}{a} = \frac{\theta}{360^\circ} formülüyle bulunur. Buradan r10=216∘360∘  ⟹  r=6 cm\frac{r}{10} = \frac{216^\circ}{360^\circ} \implies r = 6\text{ cm} elde edilir.
2
Koninin yüksekliğinin (hh) bulunması.
h=8 cmh = 8\text{ cm}
Koni yüksekliği, taban yarıçapı ve ana doğru arasında bir dik üçgen ilişkisi vardır (h2+r2=a2h^2 + r^2 = a^2). Buradan h2+62=102  ⟹  h2=64  ⟹  h=8 cmh^2 + 6^2 = 10^2 \implies h^2 = 64 \implies h = 8\text{ cm} bulunur.
3
Koninin toplam hacminin (VV) hesaplanması.
V=96π cm3V = 96\pi\text{ cm}^3
Koni hacim formülü V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h şeklindedir. Değerler yerine yazıldığında V=13π(62)(8)=96π cm3V = \frac{1}{3} \pi (6^2) (8) = 96\pi\text{ cm}^3 hesaplanır.
4
Kesik koninin hacminin benzerlik ilişkisiyle bulunması.
Vkesik=84π cm3V_{\text{kesik}} = 84\pi\text{ cm}^3
Koni, yüksekliğinin tam ortasından (k=12k = \frac{1}{2} benzerlik oranıyla) kesildiğinde, üstte oluşan küçük koninin hacminin tüm koninin hacmine oranı k3=(12)3=18k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} olur. Bu durumda alttaki kesik koninin hacmi toplam hacmin 1−18=781 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}'ine eşit olur. Buradan Vkesik=78×96π=84π cm3V_{\text{kesik}} = \frac{7}{8} \times 96\pi = 84\pi\text{ cm}^3 elde edilir.

Key Concept

Koni hacmi, açınım özellikleri ve katı cisimlerde benzerlik-hacim ilişkisi.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Koni

More questions from this topic