Examkin

Question

Difficulty: HardKümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme
A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinin, en büyük elemanı kendi eleman sayısının 2 fazlasına eşit olan boş olmayan alt küme sayısı kaçtır?
  1. A
    20
  2. B
    21
  3. 35Answer
  4. D
    55
  5. E
    57

Answer

35
Doğru yanıt olan 35 sayısı, alt kümenin eleman sayısı kk değerinin 1'den 5'e kadar olabileceği tespitiyle bulunur. Her bir adımda, en büyük eleman k+2k+2 olarak kümede sabitlenir ve geriye kalan elemanlar bu sayıdan küçük olan k+1k+1 adet sayı arasından seçilir. Bu seçimlerin toplamı olan 1+3+6+10+15=351 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Koşula uygun matematiksel bağıntıyı kurmak
Oluşturulacak alt küme BB ve eleman sayısı s(B)=ks(B) = k olsun. Kümenin en büyük elemanı max(B)max(B) ise, soruda verilen koşul max(B)=k+2max(B) = k + 2 şeklindedir.
Soruda alt kümenin en büyük elemanının, o alt kümenin eleman sayısının 2 fazlası olduğu belirtilmiştir.
2
Alt kümenin eleman sayısı kk için sınır değerlerini belirlemek
B⊆A={1,2,3,4,5,6,7}B \subseteq A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} olduğundan kümenin en büyük elemanı en fazla 7 olabilir. Dolayısıyla, max(B)=k+2≤7  ⟹  k≤5max(B) = k + 2 \leq 7 \implies k \leq 5 olur. Boş olmayan alt kümeler arandığı için k≥1k \geq 1 olup kk sayısı 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5 değerlerini alabilir.
Oluşturulan alt kümenin elemanları AA kümesinin eleman sınırlarını aşamaz.
3
Her kk değeri i��in seçilebilecek eleman kombinasyonlarını formüle etmek
Eleman sayısı kk olan bir alt kümede en büyük eleman k+2k+2 olarak belirlenirse, geriye kalan k−1k-1 eleman kesinlikle k+2k+2 değerinden küçük olmalıdır. Bu elemanlar {1,2,…,k+1}\{1, 2, \dots, k+1\} kümesinden seçilmelidir. Bu kümenin eleman sayısı k+1k+1 olduğundan, seçim sayısı (k+1k−1)=(k+12)\binom{k+1}{k-1} = \binom{k+1}{2} formülüyle hesaplanır.
En büyük elemanın k+2k+2 olmasını garantilemek için diğer tüm elemanların bu değerden küçük seçilmesi şarttır.
4
Tüm durumları hesaplayıp toplamak
k=1k=1 için: (22)=1\binom{2}{2} = 1 durum,
k=2k=2 için: (32)=3\binom{3}{2} = 3 durum,
k=3k=3 için: (42)=6\binom{4}{2} = 6 durum,
k=4k=4 için: (52)=10\binom{5}{2} = 10 durum,
k=5k=5 için: (62)=15\binom{6}{2} = 15 durum.
Toplam alt küme sayısı: 1+3+6+10+15=351 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 bulunur.
Birbirinden bağımsız olarak gerçekleşen bu durumların toplamı genel sonucu verir.

Key Concept

Kümelerde alt küme oluşturma kuralları ve kombinasyon kullanarak koşullu alt küme sayma

Hints

1
Bir alt kümenin eleman sayısı kk ise en büyük elemanı k+2k+2 olmalıdır. AA kümesinin en büyük elemanı 7 olduğuna göre, oluşturulabilecek en kalabalık alt kümenin eleman sayısı kaç olabilir?
2
Alt kümenin en büyük elemanı k+2k+2 olduğuna göre, seçilecek diğer tüm elemanlar bu sayıdan küçük olmalıdır. Yani kalan k−1k-1 elemanı {1,2,…,k+1}\{1, 2, \dots, k+1\} kümesinden seçmelisiniz.
3
Eleman sayısı kk olan durumlar için sırasıyla k=1,2,3,4,5k=1, 2, 3, 4, 5 değerlerini alarak (k+12)\binom{k+1}{2} kombinasyonlarını hesaplayıp toplayın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, en büyük elemanı eleman sayısının 3 fazlasına eşit olan alt küme sayısını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak, eleman sayısı kk olan kümeleri tek tek analiz edebiliriz. Örneğin k=1k=1 için en büyük eleman 3 olmalıdır, bu küme sadece {3}\{3\}'tür (1 adet). k=2k=2 için en büyük eleman 4 olmalıdır, bu küme {4}\{4\} elemanının yanına {1,2,3}\{1, 2, 3\} arasından 1 eleman seçilerek oluşturulur ve {1,4},{2,4},{3,4}\{1,4\}, \{2,4\}, \{3,4\} olmak üzere 3 adettir. Diğer durumlar da bu şekilde listelenerek toplam sayı doğrulanabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme

More questions from this topic