Examkin

Question

Difficulty: HardKümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme
A={x∈Z∣1<x≤10, x bir asal sayı veya x bir c¸ift sayı}∪{∅,{∅}}A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 1 < x \le 10, \ x \text{ bir asal sayı veya } x \text{ bir çift sayı}\} \cup \{\emptyset, \{\emptyset\}\}

kümesi veriliyor.

Buna göre, AA kümesi için;

I. {∅}∈A\{\emptyset\} \in A ve {∅}⊆A\{\emptyset\} \subseteq A
II. ∅⊆A\emptyset \subseteq A ve {{∅}}⊆A\{\{\emptyset\}\} \subseteq A
III. AA kümesinin alt küme sayısı ile özalt küme sayısının toplamı 10231023'tür.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IIAnswer
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Answer

I ve II
I. ifadede {∅}∈A\{\emptyset\} \in A doğrudur çünkü {∅}\{\emptyset\} kümenin doğrudan bir elemanıdır; {∅}⊆A\{\emptyset\} \subseteq A doğrudur çünkü tek elemanı olan ∅\emptyset elemanı AA'nın içindedir. II. ifadede boş küme her kümenin alt kümesi olduğu için ∅⊆A\emptyset \subseteq A doğrudur; {{∅}}⊆A\{\{\emptyset\}\} \subseteq A doğrudur çünkü tek elemanı olan {∅}\{\emptyset\} elemanı AA'nın içindedir. III. ifadede eleman sayısı 1010 olduğundan alt küme sayısı 10241024, özalt küme sayısı 10231023 ve toplamları 20472047 olup ifade yanlıştır. Dolayısıyla doğru seçenek 'I ve II' ifadesidir.

Step-by-Step Solution

1
AA kümesinin elemanlarını listeleyerek eleman sayısını belirleyelim.
A={2,3,4,5,6,7,8,10,∅,{∅}}A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, \emptyset, \{\emptyset\}\} ve s(A)=10s(A) = 10'dur.
1<x≤101 < x \le 10 aralığındaki çift sayılar {2,4,6,8,10}\{2, 4, 6, 8, 10\} ve asal sayılar {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\}'dir. Bu sayıların birleşimi {2,3,4,5,6,7,8,10}\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\} olmak üzere 88 elemandır. Bu sayısal elemanlara ek olarak tanımda verilen ∅\emptyset ve {∅}\{\emptyset\} elemanları da kümeye dahil edildiğinde toplam eleman sayısı 1010 olur.
2
I. ve II. ifadelerin doğruluğunu kontrol edelim.
I. ve II. ifadeler doğrudur.
∅∈A\emptyset \in A ve {∅}∈A\{\emptyset\} \in A olduğundan, sırasıyla {∅}⊆A\{\emptyset\} \subseteq A ve {{∅}}⊆A\{\{\emptyset\}\} \subseteq A alt küme ilişkileri doğrudur. Ayrıca boş küme (∅\emptyset) her kümenin alt kümesidir, dolayısıyla ∅⊆A\emptyset \subseteq A ifadesi de doğrudur.
3
AA kümesinin alt küme ve özalt küme sayılarını hesaplayıp toplayalım.
Alt küme sayısı 210=10242^{10} = 1024, özalt küme sayısı 210−1=10232^{10} - 1 = 1023 ve toplamları 1024+1023=20471024 + 1023 = 2047'dir.
Toplam 20472047 çıktığından, toplamın 10231023 olduğunu iddia eden III. ifade yanlıştır. Bu yanlış iddia, kümenin eleman sayısının hatalı şekilde 99 olarak bulunması durumunda (29+29−1=512+511=10232^9 + 2^9 - 1 = 512 + 511 = 1023) ortaya çıkmaktadır.

Key Concept

Kümelerde eleman ve alt küme ilişkileri ile alt küme/özalt küme sayılarının hesabı
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme

More questions from this topic