Examkin

Question

Difficulty: MediumÖzel Tanımlı İşlemler
Gerçel sayılar kümesi üzerinde ⊕\oplus ve ⊗\otimes işlemleri,
a⊕b=2a−ba \oplus b = 2a - b
a⊗b=a2+2ba \otimes b = a^2 + 2b
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(x⊕3)⊗4=17(x \oplus 3) \otimes 4 = 17
eşitliğini sağlayan pozitif xx gerçel sayısı kaçtır?
  1. A
    44
  2. 33Answer
  3. C
    66
  4. D
    92\frac{9}{2}
  5. E
    1717

Answer

Eşitliği sağlayan pozitif xx gerçel sayısı 33 olarak bulunur.
Verilen işlemlere göre, öncelikle parantez içindeki x⊕3x \oplus 3 ifadesine YY diyelim. Bu durumda denklem Y⊗4=17Y \otimes 4 = 17 olur. ⊗\otimes işleminin tanımına göre Y2+2(4)=17Y^2 + 2(4) = 17 yazılır. Buradan Y2+8=17  ⟹  Y2=9Y^2 + 8 = 17 \implies Y^2 = 9 elde edilir. Karesi 99 olan sayılar 33 ve −3-3'tür. x⊕3=2x−3x \oplus 3 = 2x - 3 olduğundan; 2x−3=3  ⟹  2x=6  ⟹  x=32x - 3 = 3 \implies 2x = 6 \implies x = 3 olur. Diğer durumda 2x−3=−3  ⟹  x=02x - 3 = -3 \implies x = 0 elde edilir ki bu değer pozitif bir gerçel sayı değildir. Bu nedenle doğru yanıt 33 değerini içeren seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitlikteki parantez içindeki ifadeye bir değişken atayalım: x⊕3=Yx \oplus 3 = Y olsun.
Denklem Y⊗4=17Y \otimes 4 = 17 halini alır.
İşlemleri sırasıyla dıştan içe doğru çözmek için.
2
⊗\otimes işleminin tanımını (a⊗b=a2+2ba \otimes b = a^2 + 2b) kullanarak Y⊗4=17Y \otimes 4 = 17 denklemini kuralım ve çözelim.
Y2+2(4)=17  ⟹  Y2+8=17  ⟹  Y2=9Y^2 + 2(4) = 17 \implies Y^2 + 8 = 17 \implies Y^2 = 9 elde edilir. Buradan Y=3Y = 3 veya Y=−3Y = -3 bulunur.
⊗\otimes işleminin sonucunu sağlayan YY değerlerini belirlemek için.
3
x⊕3=Yx \oplus 3 = Y eşitliğini ve ⊕\oplus işleminin tanımını (a⊕b=2a−ba \oplus b = 2a - b) kullanarak xx değerlerini hesaplayalım.
Y=3Y = 3 için: 2x−3=3  ⟹  2x=6  ⟹  x=32x - 3 = 3 \implies 2x = 6 \implies x = 3 bulunur. Y=−3Y = -3 için: 2x−3=−3  ⟹  2x=0  ⟹  x=02x - 3 = -3 \implies 2x = 0 \implies x = 0 bulunur.
xx sayısının pozitif bir gerçel sayı olması koşulunu (x>0x > 0) sağlayan değeri bulmak için.

Key Concept

Özel Tanımlı İşlemlerde Denklem Çözme
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic