Examkin

Question

Difficulty: HardDoğru Parçasını Oranlı Bölme

Analitik düzlemde A(2,−3)A(2, -3) ve B(−4,5)B(-4, 5) noktaları veriliyor. ABAB doğrusu üzerinde;

* [AB][AB] doğru parçasını dıştan ∣AC∣∣BC∣=35\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{3}{5} oranında bölen CC noktası,
* [AB][AB] doğru parçasını dıştan ∣AD∣∣BD∣=53\frac{|AD|}{|BD|} = \frac{5}{3} oranında bölen DD noktası

işaretleniyor. Buna göre, CC ve DD noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

  1. A
    20
  2. B
    25
  3. C
    30
  4. 40Answer
  5. E
    50

Answer

40
Doğru cevabın 40 olmasının nedeni, A ve B noktaları arasındaki mesafenin 10 birim olarak hesaplanmasıdır. C noktası doğru parçasını dıştan 3/5 oranında böldüğü için A noktasına daha yakındır ve A noktasından geriye doğru 15 birim uzaklıktadır. D noktası ise doğru parçasını dıştan 5/3 oranında böldüğü için B noktasına daha yakındır ve B noktasından ileriye doğru 15 birim uzaklıktadır. Bu noktalar aynı doğru üzerinde sırasıyla C, A, B, D şeklinde dizildiğinden, C ve D arasındaki toplam mesafe 15 + 10 + 15 = 40 birimdir.

Step-by-Step Solution

1
A(2,−3)A(2, -3) ve B(−4,5)B(-4, 5) noktaları arasındaki uzaklık (∣AB∣|AB|) hesaplanır.
∣AB∣=(−4−2)2+(5−(−3))2=(−6)2+82=10|AB| = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = 10 birim olarak bulunur.
Dıştan bölme oranlarının doğru parçasının uzunluğuyla ilişkisini kurabilmek için başlangıç uzunluğunu bilmemiz gerekir.
2
CC noktasının konumunu belirlemek için ∣AC∣∣BC∣=35\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{3}{5} oranı kullanılır.
CC noktası AA ucuna daha yakındır ve C−A−BC - A - B sırasıyla yer alır. ∣AC∣=3k|AC| = 3k ve ∣BC∣=5k|BC| = 5k dersek, ∣AB∣=2k=10  ⟹  k=5|AB| = 2k = 10 \implies k = 5 olur. Buradan ∣AC∣=15|AC| = 15 birim bulunur.
Dıştan bölme oranının 1'den küçük olması, noktanın ilk harfe (A noktasına) daha yakın olduğunu gösterir.
3
DD noktasının konumunu belirlemek için ∣AD∣∣BD∣=53\frac{|AD|}{|BD|} = \frac{5}{3} oranı kullanılır.
DD noktası BB ucuna daha yakındır ve A−B−DA - B - D sırasıyla yer alır. ∣AD∣=5m|AD| = 5m ve ∣BD∣=3m|BD| = 3m dersek, ∣AB∣=2m=10  ⟹  m=5|AB| = 2m = 10 \implies m = 5 olur. Buradan ∣BD∣=15|BD| = 15 birim bulunur.
Dıştan bölme oranının 1'den büyük olması, noktanın ikinci harfe (B noktasına) daha yakın olduğunu gösterir.
4
CC ve DD noktaları arasındaki toplam uzaklık (∣CD∣|CD|) hesaplanır.
C,A,B,DC, A, B, D noktaları aynı doğru üzerinde C−A−B−DC - A - B - D sırasıyla dizilmiştir. Bu nedenle, ∣CD∣=∣CA∣+∣AB∣+∣BD∣=15+10+15=40|CD| = |CA| + |AB| + |BD| = 15 + 10 + 15 = 40 birimdir.
Tüm noktalar doğrusal olduğundan, aralarındaki uzaklıklar doğrudan toplanarak toplam mesafe elde edilir.

Key Concept

Bir doğru parçasını belirli bir oranda dıştan bölen noktaların koordinatlarının artış/azalış miktarları yardımıyla veya vektörel olarak bulunması ve iki nokta arasındaki uzaklığın hesaplanması.
Rate this question

Topics

Doğru Parçasını Oranlı Bölme

More questions from this topic