Examkin

Question

Difficulty: HardDoğru Parçasını Oranlı Bölme

Analitik düzlemde A(−3,5)A(-3, 5) ve B(5,−3)B(5, -3) noktaları veriliyor. [AB][AB] doğru parçasını ∣AC∣∣BC∣=35\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{3}{5} oranında içten bölen nokta CC, ABAB doğrusunu ∣AD∣∣BD∣=3\frac{|AD|}{|BD|} = 3 oranında d��ştan bölen nokta DD olduğuna göre, CC ve DD noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

  1. A
    323\sqrt{2}
  2. B
    727\sqrt{2}
  3. C
    828\sqrt{2}
  4. 929\sqrt{2}Answer
  5. E
    106\sqrt{106}

Answer

C ve D noktaları arasındaki uzaklık 929\sqrt{2} birimdir.
Doğru olan 929\sqrt{2} seçeneği, içten bölme kurallarına göre doğru tespit edilen C(0,2)C(0, 2) noktası ile dıştan bölme kurallarına göre doğru tespit edilen D(9,−7)D(9, -7) noktası arasındaki geometrik mesafeyi vermektedir.

Step-by-Step Solution

1
C noktasının koordinatlarını bulmak için içten bölme oranını uygulayalım.
C(0,2)C(0, 2)
CC noktası [AB][AB] üzerinde olup oranı ∣AC∣∣BC∣=35\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{3}{5}'tir. AA ile BB arasındaki mesafe 8k8k parça kabul edilirse; xx koordinatındaki toplam değişim 5−(−3)=85 - (-3) = 8 birim artış yönündedir (8k=8  ⟹  k=18k = 8 \implies k = 1). CC noktası AA'dan 3k3k uzaklıkta olduğundan xC=−3+3(1)=0x_C = -3 + 3(1) = 0 olur. yy koordinatındaki toplam değişim −3−5=−8-3 - 5 = -8 birim azalış yönündedir (8k=−8  ⟹  k=−18k = -8 \implies k = -1). CC noktası AA'dan 3k3k uzaklıkta olduğundan yC=5+3(−1)=2y_C = 5 + 3(-1) = 2 olur.
2
D noktasının koordinatlarını bulmak için dıştan bölme oranını uygulayalım.
D(9,−7)D(9, -7)
DD noktası ABAB doğrusu üzerinde ve dışında olup oranı ∣AD∣∣BD∣=3\frac{|AD|}{|BD|} = 3'tür. ∣AD∣=3∣BD∣|AD| = 3|BD| olduğundan DD noktası BB tarafına daha yakındır (A−B−DA - B - D sırası). ∣BD∣=p|BD| = p dersek, ∣AD∣=3p|AD| = 3p ve ∣AB∣=2p|AB| = 2p olur. 2p2p uzunluktaki [AB][AB] üzerinde xx koordinatı 5−(−3)=85 - (-3) = 8 artmıştır (2p=8  ⟹  p=42p = 8 \implies p = 4 artış). BB'den DD'ye pp kadar gidildiğinde xD=5+4=9x_D = 5 + 4 = 9 olur. 2p2p üzerinde yy koordinatı −3−5=−8-3 - 5 = -8 azalmıştır (2p=−8  ⟹  p=−42p = -8 \implies p = -4 azalış). BB'den DD'ye gidildiğinde yD=−3−4=−7y_D = -3 - 4 = -7 olur.
3
Bulunan C ve D noktaları arasındaki uzaklığı iki nokta arası uzaklık formülüyle hesaplayalım.
∣CD∣=92|CD| = 9\sqrt{2}
İki nokta arasındaki uzaklık formülü ∣CD∣=(xD−xC)2+(yD−yC)2|CD| = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2} şeklindedir. Değerleri yerine yazarsak: ∣CD∣=(9−0)2+(−7−2)2=92+(−9)2=81+81=162=92|CD| = \sqrt{(9 - 0)^2 + (-7 - 2)^2} = \sqrt{9^2 + (-9)^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2} birim olarak hesaplanır.

Key Concept

Analitik düzlemde bir doğru parçasını belirli bir oranda içten ve dıştan bölen noktaların koordinatlarının hesaplanması.

Hints

1
C noktasının koordinatlarını bulmak için x ve y koordinatlarındaki değişim miktarlarını [AB] üzerindeki 3:5 oranına göre paylaştırın.
2
D noktası dıştan bölen bir nokta olduğu için A-B-D sıralamasını kullanarak, [AB] üzerindeki değişim hızını B ile D arasına taşıyın.

Practice More

Benzer şekilde koordinatları bilinen bir üçgende köşe koordinatları ve kenarortay oranlarını kullanarak ağırlık merkezi bulma sorularını çözebilirsiniz.

Alternative Method

Vektörel yöntemle veya koordinat artış/azalış miktarlarını doğrudan doğrusal oran kurarak (örneğin x koordinatı için: 8 birimlik mesafede 8 artış varsa, 3 birimde 3 artış olur mantığıyla) formülsüz şekilde çözebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Doğru Parçasını Oranlı Bölme

More questions from this topic