Examkin

Question

Difficulty: MediumTemel Kavramlar

pp, qq ve rr birbirinden farklı asal sayılardır.

p+q⋅r=31p + q \cdot r = 31

olduğuna göre, p+q+rp + q + r toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A
    22
  2. B
    28
  3. 20Answer
  4. D
    30
  5. E
    32

Answer

Eşitliği sağlayan birbirinden farklı asal sayılar p=5p=5, q=2q=2 ve r=13r=13 olup, toplamları 20 değerine eşittir.
Doğru cevap 20 değeridir. p>2p > 2 tek asal sayısı için q⋅rq \cdot r çarpımının çift sayı olması gerektiğinden, çarpanlardan biri çift asal sayı olan 2'dir. q=2q=2 seçildiğinde p+2r=31p + 2r = 31 eşitliğini sağlayan birbirinden farklı asal sayılar p=5p=5 ve r=13r=13 olarak bulunur. Bu durumda p+q+r=5+2+13=20p+q+r = 5+2+13 = 20 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemin teklik-çiftlik durumunu analiz etmek.
p+q⋅r=31p + q \cdot r = 31 denkleminde eşitliğin sağ tarafı (31) tek sayıdır.
Toplama işleminde sonucun tek olması için terimlerden birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.
2
p=2p = 2 (çift asal sayı) durumunu incelemek.
p=2p=2 ise 2+q⋅r=31  ⟹  q⋅r=292 + q \cdot r = 31 \implies q \cdot r = 29 olur. 29 bir asal sayı olduğundan çarpanları sadece 1 ve 29'dur.
Ancak 1 asal sayı olmadığından, qq ve rr asal sayı şartını sağlayamaz. Dolayısıyla p=2p=2 olamaz.
3
p>2p > 2 (tek asal sayı) durumunu incelemek.
pp tek sayı olduğundan, q⋅rq \cdot r çarpımı çift sayı olmalıdır (Tek+C\cift=TekTek + Çift = Tek). qq ve rr asal sayı olduğundan, çarpımın çift olması için içlerinden en az birinin çift asal sayı olan 2 olması gerekir. Kolaylık için q=2q=2 olsun.
Çift olan tek asal sayı 2'dir. Bu kuralı kullanarak değişkenlerden birini kesinleştiririz.
4
p+2r=31p + 2r = 31 denklemini sağlayan birbirinden farklı asal sayıları bulmak.
rr yerine asal sayılar yazılarak p=31−2rp = 31 - 2r ifadesinin asal olma durumu incelenir:
- r=3r=3 için p=25p = 25 (asal değil)
- r=5r=5 için p=21p = 21 (asal değil)
- r=7r=7 için p=17p = 17 (asal). Sayılar {2,7,17}\{2, 7, 17\} olur. Toplam: 2+7+17=262+7+17 = 26
- r=11r=11 için p=9p = 9 (asal değil)
- r=13r=13 için p=5p = 5 (asal). Sayılar {2,5,13}\{2, 5, 13\} olur. Toplam: 2+5+13=202+5+13 = 20
- r≥17r \ge 17 için pp negatif olur.
Tüm ihtimalleri inceleyerek koşulları sağlayan asal sayı üçlülerini belirleriz.

Key Concept

Asal Sayılar ve Parite (Tek-Çift Sayı) İlişkisi

Hints

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 31 sayısı bir tek sayıdır. İki sayının toplamının tek sayı olması için bu sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerektiğini unutmayın.
2
Çift olan tek asal sayı 2'dir. Bu bilgiyi kullanarak değişkenlerden hangilerinin çift sayı olması gerektiğini belirleyin.
3
qq ve rr sayılarından biri 2 olmalıdır. q=2q=2 kabul edip denklemi p+2r=31p + 2r = 31 haline getirerek rr asal sayısına değerler verin ve pp'nin asal çıkıp çıkmadığını kontrol edin.

Practice More

Benzer parite sorularında asal sayıların teklik-çiftlik kuralları sıklıkla test edilir. Özellikle 2 sayısının tek çift asal sayı olduğunu hatırlamak sorularda kritik ipucudur.

Alternative Method

Alternatif olarak, denklemi 2r=31−p2r = 31 - p şeklinde düzenleyebilirsiniz. pp ve rr farklı asal sayılar olacağından, 31'den tek asal sayıları çıkararak elde edilen sonuçların 2'ye bölünüp bölünmediğine ve bölümün asal bir sayı olup olmadığına bakarak da çözüme hızlıca gidebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Temel Kavramlar

More questions from this topic