Taban ayrıtı 6\text{ cm} olan düzgün kare dik piramidin yan yüzlerinin taban düzlemiyle ya… — ALES

Taban ayrıtı $6\text{ cm}$ olan düzgün kare dik piramidin yan yüzlerinin taban düzlemiyle yaptığı açı $60^\circ$ dir. Buna göre, bu piramidin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin hacminin piramidin hacmine oranı kaçtır?

A
$\frac{\pi}{12}$
B
$\frac{\pi}{27}$
$\frac{\pi}{9}$ Answer
D
$\frac{\sqrt{3}\pi}{3}$
E
$\frac{\pi}{36}$

Answer

Kürenin hacminin piramidin hacmine oranı

\frac{\pi}{9}

olarak bulunur.

Kürenin yarıçapı (

r = \sqrt{3}\text{ cm}

) ve piramidin yüksekliği (

h = 3\sqrt{3}\text{ cm}

) doğru hesaplandığında küre hacmi

4\sqrt{3}\pi\text{ cm}^3

, piramit hacmi ise

36\sqrt{3}\text{ cm}^3

çıkmaktadır. Bu iki değerin oranı

\frac{\pi}{9}

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

Piramidin dikey kesitini belirleyin ve yüksekliğini bulun.

Taban ayrıtı

6\text{ cm}

ve yan yüz açısı

60^\circ

olan piramidin karşılıklı iki kenarının orta noktalarından geçen dikey kesiti, bir kenarı

6\text{ cm}

olan bir eşkenar üçgendir. Bu eşkenar üçgenin yüksekliği piramidin yüksekliğine eşittir:

h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm}

olur.

Piramit hacmini ve iç teğet küre yarıçapını bulmak için yükseklik ve dikey kesit ölçüleri gereklidir.

Piramidin içine yerleştirilebilecek en büyük kürenin yarıçapını (

r

) bulun.

Küre, piramidin tüm yüzeylerine teğet olmalıdır. Bu kürenin dikey kesit düzlemindeki izdüşümü, bir kenarı

6\text{ cm}

olan eşkenar üçgenin iç teğet çemberidir. Eşkenar üçgende iç teğet çemberin yarıçapı

r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Kürenin hacmini hesaplayabilmek için yarıçapının bilinmesi gerekir.

Kürenin hacmini hesaplayın.

V_{\text{küre}} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{3})^3 = 4\sqrt{3}\pi\text{ cm}^3

olur.

Oranlama işlemi için pay kısmında yer alacak küre hacmini bulmak gerekir.

Piramidin hacmini hesaplayın.

V_{\text{piramit}} = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 3\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\text{ cm}^3

olur.

Oranlama işlemi için payda kısmında yer alacak piramit hacmini bulmak gerekir.

Kürenin hacmini piramidin hacmine oranlayın.

\text{Oran} = \frac{V_{\text{küre}}}{V_{\text{piramit}}} = \frac{4\sqrt{3}\pi}{36\sqrt{3}} = \frac{\pi}{9}

olarak elde edilir.

Soru kökündeki nihai oran ilişkisini kurmak için bölme işlemi yapılır.

Key Concept

Düzgün piramitlerin hacmi ve iç teğet küre yarıçapının dikey kesit yardımıyla bulunması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic