Taban ayrıtı 12\text{ cm} ve yanal alanı 240\text{ cm}^2 olan düzgün kare dik piramidin ha… — ALES

Taban ayrıtı $12\text{ cm}$ ve yanal alanı $240\text{ cm}^2$ olan düzgün kare dik piramidin hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

A
$192$
$384$ Answer
C
$480$
D
$1152$
E
$1440$

Answer

Piramidin hacmi

384\text{ cm}^3

tür.

Piramidin hacmi, taban alanı ile cisim yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir. Yanal alandan yanal yüz yüksekliği

10\text{ cm}

olarak hesaplandıktan sonra, Pisagor teoremi yardımıyla cisim yüksekliği

8\text{ cm}

bulunur. Taban alanı

144\text{ cm}^2

ile bu yükseklik çarpılıp üçe bölündüğünde hacim

384\text{ cm}^3

olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Yanal alandan yararlanarak yanal yüz yüksekliğini bulun.

Yanal yüz yüksekliği

h_y = 10\text{ cm}

olarak bulunur.

Düzgün kare piramidin yanal alanı, 4 adet eş üçgensel yüzün alanları toplamıdır. Yanal Alan =

4 \cdot \left(\frac{a \cdot h_y}{2}\right) = 2 \cdot a \cdot h_y

formülüyle hesaplanır. Buradan

240 = 2 \cdot 12 \cdot h_y \implies h_y = 10\text{ cm}

elde edilir.

Piramidin cisim yüksekliğini hesaplamak için dik üçgen oluşturun.

Cisim yüksekliği

h = 8\text{ cm}

olarak bulunur.

Piramidin tepe noktasından tabana inen dikme, taban merkezine düşer. Taban merkezinden yanal yüzün taban kenarına olan uzaklığı, taban ayrıtının yarısıdır (

12 / 2 = 6\text{ cm}

). Cisim yüksekliği (

h

), taban yarı uzunluğu (

6\text{ cm}

) ve yanal yüz yüksekliği (

h_y = 10\text{ cm}

) bir dik üçgen oluşturur. Pisagor teoreminden:

h^2 + 6^2 = 10^2 \implies h = 8\text{ cm}

(6-8-10 özel dik üçgeni) bulunur.

Taban alanını ve piramidin hacmini hesaplayın.

Taban alanı

144\text{ cm}^2

ve hacim

384\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Taban bir kenarı

12\text{ cm}

olan bir kare olduğundan, Taban Alanı =

12^2 = 144\text{ cm}^2

dir. Piramidin hacmi

V = \frac{1}{3} \cdot \text{Taban Alanı} \cdot \text{Yükseklik}

formülü ile hesaplanır. Buradan

V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8 = 384\text{ cm}^3

elde edilir.

Key Concept

Düzgün kare dik piramidin hacmi, yanal alanı ve cisim yüksekliği ile yanal yüz yüksekliği arasındaki Pisagor bağıntısı ilişkisi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic