Bir kenar uzunluğu 12\text{ cm} olan ABCD düzgün dörtyüzlüsünün [AD] kenarı üzerinde bir E… — ALES

Bir kenar uzunluğu $12\text{ cm}$ olan $ABCD$ düzgün dörtyüzlüsünün $[AD]$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası ve $[BD]$ kenarı üzerinde bir $F$ noktası işaretleniyor.

$|AE| = 4\text{ cm}$ ve $|BF| = 6\text{ cm}$ olduğuna göre, $C$ , $E$ ve $F$ noktalarından geçen düzlem ile bu düzgün dörtyüzlü iki parçaya ayrıldığında, $ABC$ yüzeyini içeren parçanın hacmi kaç $\text{cm}^3$ olur?

A
$48\sqrt{2}$
$96\sqrt{2}$ Answer
C
$120\sqrt{2}$
D
$144$
E
$288\sqrt{2}$

Answer

96\sqrt{2}\text{ cm}^3

Düzgün dörtyüzlünün toplam hacmi

144\sqrt{2}\text{ cm}^3

olarak hesaplanır. Tepe noktası

D

kabul edilen

D-CEF

piramidinin yanal ayrıtlar üzerindeki uzunlukları

|DE| = 8\text{ cm}

|DF| = 6\text{ cm}

olduğundan, bu piramidin hacminin tüm dörtyüzlünün hacmine oranı

\frac{8}{12} \cdot \frac{6}{12} = \frac{1}{3}

olur. Dolayısıyla

ABC

tabanını içeren alt parçanın hacmi, tüm hacmin

\frac{2}{3}

'ü olan

96\sqrt{2}\text{ cm}^3

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

Düzgün dörtyüzlünün cisim yüksekliğini bulmak için yükseklik formülü uygulanır.

h = 12\sqrt{\frac{2}{3}} = 4\sqrt{6}\text{ cm}

Hacim hesabında taban alanıyla çarpılacak dik yüksekliğin bilinmesi gerekir.

Eşkenar üçgen olan taban alanı hesaplanır.

A_{\text{taban}} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2

Düzgün dörtyüzlünün taban yüzeyi bir kenarı

12\text{ cm}

olan eşkenar üçgendir.

Düzgün dörtyüzlünün toplam hacmi hesaplanır.

V_{\text{toplam}} = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{6} = 144\sqrt{2}\text{ cm}^3

Piramidin hacmi, taban alan�� ile yüksekliğin çarpımının üçte birine eşittir.

Ortak tepe noktası

D

olan

D-CEF

piramidinin ayrıt oranları kullanılarak hacim oranı bulunur.

|DE| = 12 - 4 = 8\text{ cm}

|DF| = 12 - 6 = 6\text{ cm}

olduğundan,

\frac{V(D-CEF)}{V(D-ABC)} = \frac{DE}{DA} \cdot \frac{DF}{DB} = \frac{8}{12} \cdot \frac{6}{12} = \frac{1}{3}

bulunur.

Aynı düzlemle bölünen ve tepe noktası ortak olan piramitlerin hacimleri oranı, ilgili ayrıt uzunluklarının oranlarının çarpımına eşittir.

ABC

tabanını içeren alt parçanın hacmi hesaplanır.

V_{\text{alt}} = V_{\text{toplam}} \cdot (1 - \frac{1}{3}) = 144\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} = 96\sqrt{2}\text{ cm}^3

Alt parçanın hacmi, toplam dörtyüzlü hacminden üstteki küçük piramidin hacminin çıkarılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Piramitlerde Hacim ve Hacim Oranları

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic