Examkin

Question

Difficulty: MediumTemel Kavramlar

aa, bb ve cc birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.

a⋅b+b⋅c=24a \cdot b + b \cdot c = 24

olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

  1. A
    24
  2. B
    25
  3. 35Answer
  4. D
    36
  5. E
    38

Answer

En büyük değer ile en küçük değerin toplamı 35'tir.
Denklem b(a+c)=24b(a+c) = 24 olarak yazıldığında, değişkenlerin pozitif ve birbirinden farklı tam sayılar olma koşulu altında a+b+ca+b+c toplamının alabileceği en büyük değer b=1b=1 için 25, en küçük değer ise b=4b=4 veya b=6b=6 için 10 olmaktadır. Bu iki değerin toplamı 35'tir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemi ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirelim.
b(a+c)=24b(a + c) = 24 elde edilir.
a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot c ifadesinde bb ortak çarpan parantezine alınarak değişkenler arasındaki ilişki daha net görülür.
2
bb ve a+ca+c çarpanlarının 24'ün pozitif tam sayı bölenleri olması gerektiğini belirleyelim.
24'ün pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24'tür. aa ve cc pozitif tam sayılar ve a≠ca \neq c olduğundan a+c≥1+2=3a+c \ge 1+2=3 olmalıdır.
Değişkenlerin pozitif ve birbirinden farklı olması sınır koşullarını belirler.
3
Her bir bb böleni için a+b+ca+b+c toplamını inceleyelim.
b=1b = 1 için a+c=24  ⟹  {a,c}={2,22}a+c = 24 \implies \{a, c\} = \{2, 22\} seçilebilir. Toplam: 1+24=251 + 24 = 25 (en büyük değer). b=2b = 2 için a+c=12  ⟹  {a,c}={3,9}  ⟹  a+c = 12 \implies \{a, c\} = \{3, 9\} \implies Toplam: 2+12=142 + 12 = 14. b=3b = 3 için a+c=8  ⟹  {a,c}={1,7}  ⟹  a+c = 8 \implies \{a, c\} = \{1, 7\} \implies Toplam: 3+8=113 + 8 = 11. b=4b = 4 için a+c=6  ⟹  {a,c}={1,5}  ⟹  a+c = 6 \implies \{a, c\} = \{1, 5\} \implies Toplam: 4+6=104 + 6 = 10 (en küçük değer). b=6b = 6 için a+c=4  ⟹  {a,c}={1,3}  ⟹  a+c = 4 \implies \{a, c\} = \{1, 3\} \implies Toplam: 6+4=106 + 4 = 10 (en küçük değer). b=8b = 8 için a+c=3  ⟹  {a,c}={1,2}  ⟹  a+c = 3 \implies \{a, c\} = \{1, 2\} \implies Toplam: 8+3=118 + 3 = 11. b=12b = 12 için a+c=2a+c = 2 olur ancak toplamı 2 olan farklı pozitif tam sayılar yoktur (1+1=21+1=2 olup sayılar aynıdır).
Tüm olası çarpan eşlemelerini inceleyerek sınır değerleri tespit etmek gerekir.
4
En büyük ve en küçük toplam değerlerini bulup toplayalım.
En büyük değer 25, en küçük değer 10'dur. Toplamları: 25+10=3525 + 10 = 35 bulunur.
Soruda en büyük ve en küçük değerlerin toplamı istendiği için.

Key Concept

Ortak çarpan parantezine alma ve pozitif tam sayı bölenlerinin sınır koşullarına göre analizi.

Hints

1
İfadeyi bb ortak parantezine alarak b(a+c)=24b(a+c) = 24 biçiminde yazın.
2
a,b,ca, b, c sayılarının pozitif tam sayılar olduğunu ve a≠ca \neq c şartını sağladığını göz önünde bulundurarak 24'ün bölenlerini inceleyin.
3
b=1b=1 için toplamın en büyük değerini (25) ve b=4b=4 ya da b=6b=6 için en küçük değerini (10) elde edebileceğinizi doğrulayın.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Temel Kavramlar

More questions from this topic