Examkin

Question

Difficulty: MediumTemel Kavramlar
a,ba, b ve cc birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
a⋅b−b⋅c−a+c=6a \cdot b - b \cdot c - a + c = 6
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
  1. A
    6
  2. 8Answer
  3. C
    9
  4. D
    10
  5. E
    12

Answer

En küçük toplam 8'dir.
Verilen denklem (b−1)(a−c)=6(b - 1)(a - c) = 6 şeklinde çarpanlarına ayrılır. a,b,ca, b, c pozitif ve birbirinden farklı tam sayılar olduğundan, b−1b - 1 ve a−ca - c pozitif tam sayılar olmalıdır. 6'nın pozitif bölen çiftleri incelendiğinde, toplamı en küçük yapan durumlar (b−1,a−c)=(2,3)(b - 1, a - c) = (2, 3) veya (3,2)(3, 2) olur. Buradan b=3b = 3 ve a−c=3a - c = 3 (veya b=4b = 4 ve a−c=2a - c = 2) elde edilir. En küçük toplam için c=1c = 1 seçildiğinde a=4a = 4 (veya a=3a = 3) bulunur. Değerler birbirinden farklı pozitif tam sayılar şartını sağlar ve toplam 4+3+1=84 + 3 + 1 = 8 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
b(a−c)−(a−c)=6⇒(b−1)(a−c)=6b(a - c) - (a - c) = 6 \Rightarrow (b - 1)(a - c) = 6
Denklemi analiz edebilmek ve bilinmeyenlerin alabileceği değerleri belirleyebilmek için.
2
a,ba, b ve cc pozitif tam sayılar olduğundan, b−1b - 1 ve a−ca - c değerlerinin 6'nın pozitif bölenleri olması gerektiğini belirleyin.
b−1>0b - 1 > 0 ve a−c>0a - c > 0 olmalıdır, çünkü b≥1b \ge 1 ve b≠1b \neq 1 (eğer b=1b=1 ise çarpım 0 olur). Dolayısıyla a>ca > c olur.
Bilinmeyenlerin tam sayı sınırlarını belirlemek ve toplamı en aza indirecek değerleri seçmek için.
3
6'nın pozitif çarpan çiftlerini (b−1,a−c)(b - 1, a - c) için deneyerek a,b,ca, b, c değerlerini ve toplamlarını bulun.
1) b−1=1  ⟹  b=2b - 1 = 1 \implies b = 2 ve a−c=6a - c = 6. c=1  ⟹  a=7c = 1 \implies a = 7. Bu durumda (7,2,1)  ⟹  a+b+c=10(7, 2, 1) \implies a+b+c = 10 olur.
2) b−1=2  ⟹  b=3b - 1 = 2 \implies b = 3 ve a−c=3a - c = 3. c=1  ⟹  a=4c = 1 \implies a = 4. Bu durumda (4,3,1)  ⟹  a+b+c=8(4, 3, 1) \implies a+b+c = 8 olur.
3) b−1=3  ⟹  b=4b - 1 = 3 \implies b = 4 ve a−c=2a - c = 2. c=1  ⟹  a=3c = 1 \implies a = 3. Bu durumda (3,4,1)  ⟹  a+b+c=8(3, 4, 1) \implies a+b+c = 8 olur.
4) b−1=6  ⟹  b=7b - 1 = 6 \implies b = 7 ve a−c=1a - c = 1. c=1  ⟹  a=2c = 1 \implies a = 2. Bu durumda (2,7,1)  ⟹  a+b+c=10(2, 7, 1) \implies a+b+c = 10 olur.
Birbirinden farklı pozitif tam sayı şartını sağlayan ve toplamı en küçük yapan kombinasyonu seçmek için.
4
Elde edilen sonuçlar arasından en küçük toplamı belirleyin.
En küçük toplam 8'dir. Bu toplam (4,3,1)(4, 3, 1) veya (3,4,1)(3, 4, 1) üçlüleri ile elde edilir.
Soru bizden en küçük değeri istediği için.

Key Concept

Ortak çarpan parantezine alma ve tam sayılarda değer verme
Rate this question

Topics

Temel Kavramlar

More questions from this topic