Examkin

Question

Difficulty: Very hardSayı Kümeleri ve Dört İşlem

Birbirinden farklı aa, bb, cc ve dd pozitif tam sayıları için

a⋅b−c=12a \cdot b - c = 12
b⋅c−d=15b \cdot c - d = 15

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, a+b+c+da + b + c + d toplamının alabileceği en küçük de��er kaçtır?

  1. A
    18
  2. 21Answer
  3. C
    22
  4. D
    24
  5. E
    28

Answer

Koşulları sağlayan en küçük toplam değeri 21'dir.
Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı ve birbirinden farklı a,b,c,da, b, c, d değişkenleri için denklemler çözüldüğünde toplamı minimum yapan değerler a=10a=10, b=2b=2, c=8c=8 ve d=1d=1 olarak belirlenir. Bu değerlerin toplamı 21'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitlikleri düzenleyerek cc ve dd değişkenlerini aa ve bb cinsinden ifade edelim.
c=a⋅b−12c = a \cdot b - 12 ve d=b⋅c−15=a⋅b2−12b−15d = b \cdot c - 15 = a \cdot b^2 - 12b - 15 elde edilir.
Değişkenlerin birbirine bağlı değişimlerini ve sınır değerlerini tek bir değişkene indirgeyerek analiz etmek.
2
Değişkenlerin pozitif tam sayılar (1,2,3,…1, 2, 3, \dots) olması koşuluyla sınır eşitsizliklerini yazalım.
c≥1  ⟹  a⋅b≥13c \ge 1 \implies a \cdot b \ge 13 ve d≥1  ⟹  b(a⋅b−12)≥16d \ge 1 \implies b(a \cdot b - 12) \ge 16 koşulları elde edilir.
Değişkenlerin ait olduğu sayı kümelerinin sınırlarını belirlemek.
3
Olası en küçük toplamı bulmak için bb değerine sırasıyla pozitif tam sayı değerleri vererek aa, cc ve dd değerlerini hesaplayalım.
b=2b = 2 için: d=2c−15≥1  ⟹  c≥8d = 2c - 15 \ge 1 \implies c \ge 8 olur. Buradan c=2a−12≥8  ⟹  a≥10c = 2a - 12 \ge 8 \implies a \ge 10 bulunur. a=10a = 10 alındığında c=8c = 8 ve d=1d = 1 elde edilir. Bu değerler ile {a,b,c,d}={10,2,8,1}\{a, b, c, d\} = \{10, 2, 8, 1\} kümesi oluşur.
Toplamı minimize edecek en küçük pozitif tam sayı adaylarını test etmek.
4
Bulunan aday değerlerin birbirinden farklı olma koşulunu ve toplam değerini kontrol edelim.
a=10,b=2,c=8,d=1a=10, b=2, c=8, d=1 değerlerinin tamamı pozitif tam sayıdır ve birbirinden farklıdır. Bu değerlerin toplamı 10+2+8+1=2110 + 2 + 8 + 1 = 21 olarak bulunur.
Soruda belirtilen tüm kısıtların sağlandığını doğrulamak.
5
Farklı bb değerleri için (b=1,b=3,b≥4b=1, b=3, b \ge 4) alternatif çözümleri inceleyip 21'den daha küçük bir toplam olup olmadığını kontrol edelim.
b=1b=1 için en küçük toplam 49, b=3b=3 için en küçük toplam 31, b=4b=4 için en küçük toplam 34 çıkmaktadır. Dolayısıyla en küçük toplam 21'dir.
Elde edilen sonucun mutlak minimum olduğunu kesinleştirmek.

Key Concept

Sayı kümeleri sınırlandırmaları altında dört işlem içeren sistemlerin en küçük değer analizi (optimizasyon).

Hints

1
Denklemlerdeki değişken sayısını azaltmak için cc ve dd ifadelerini aa ve bb cinsinden yazarak analiz etmeye başlayın.
2
Sayıların pozitif tam sayı olması koşulundan yararlanarak c≥1c \ge 1 ve d≥1d \ge 1 eşitsizliklerini kurun ve bb değerine sırasıyla 1,2,3...1, 2, 3... vererek olası durumları inceleyin.

Practice More

Değişkenlerin pozitif tam sayılar yerine negatif tam sayılar olması durumunda toplamın alabileceği en büyük değeri bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Eşitsizliklerden yola çıkarak a⋅b≥13a \cdot b \ge 13 ve b⋅c≥16b \cdot c \ge 16 sınırlarını belirleyip, bu koşulları sağlayan en küçük çarpım çiftlerini deneme yanılma yoluyla da bulabilirsiniz.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri ve Dört İşlem

More questions from this topic