Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Kümeleri ve Dört İşlem
a, b ve c sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlardır.
a+bc\frac{a+b}{c}
ve
b+ca\frac{b+c}{a}
ifadeleri birer tam sayıya eşittir.
Buna göre, a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
  1. A
    64
  2. B
    105
  3. C
    126
  4. 162Answer
  5. E
    180

Answer

En büyük çarpım değeri 162'dir.
Doğru cevap olan 162 değeri, sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar koşuluna uygun olarak a,b,ca, b, c değerlerinin sırasıyla 3,9,63, 9, 6 seçilmesiyle elde edilir. Bu rakamlar için 3+96=2\frac{3+9}{6} = 2 ve 9+63=5\frac{9+6}{3} = 5 işlemleri birer tam sayı olup, çarpım değeri olan 3⋅9⋅6=1623 \cdot 9 \cdot 6 = 162 ulaşılabilecek en büyük çarpımdır.

Step-by-Step Solution

1
Soruda verilen bölme ifadelerini matematiksel eşitlikler olarak tanımlamak.
a+bc=k1\frac{a+b}{c} = k_1 ve b+ca=k2\frac{b+c}{a} = k_2 olacak şekilde k1,k2∈Z+k_1, k_2 \in \mathbb{Z}^+ tanımlanır. Buradan a+b=k1⋅ca+b = k_1 \cdot c ve b+c=k2⋅ab+c = k_2 \cdot a elde edilir.
Bölme işleminin sonucunun tam sayı çıkması, payın paydanın bir tam katı olmasını gerektirir.
2
Değişkenlerin sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olması koşuluyla olası büyük değerleri test etmek.
a,b,c∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} kümesinin elemanları olmalıdır. Çarpımın en büyük olması için en büyük rakam olan 99'u değişkenlerden birine (örneğin bb'ye) atayarak başlanır.
En büyük çarpımı elde etmek için çarpanların olabildiğince büyük seçilmesi gerekir.
3
b=9b = 9 için eşitlikleri sağlayan diğer rakamları belirlemek.
a+9=k1⋅ca+9 = k_1 \cdot c ve 9+c=k2⋅a9+c = k_2 \cdot a denklem sistemi elde edilir. Burada c=6c = 6 ve a=3a = 3 seçildiğinde 3+96=2\frac{3+9}{6} = 2 (tam sayı) ve 9+63=5\frac{9+6}{3} = 5 (tam sayı) koşulları tam olarak sağlanır.
Seçilen rakamların hem birbirinden farklı olması hem de tam kat ilişkilerini doğrulaması kontrol edilir.
4
Bulunan a,b,ca, b, c rakamlarının çarpımını hesaplamak.
a⋅b⋅c=3⋅9⋅6=162a \cdot b \cdot c = 3 \cdot 9 \cdot 6 = 162 bulunur. Diğer rakam gruplarının (örneğin {2,7,9}\{2, 7, 9\} gibi) daha küçük çarpımlar verdiği veya koşulları sağlamadığı görülür.
Bulunan sonucun en büyük değer olduğundan emin olunur.

Key Concept

Sayı kümeleri ve dört işlem içeren bölünebilme özellikleri.

Hints

1
Çarpımın en büyük olabilmesi için değişkenlerden birini en büyük rakam olan 9 seçerek başlayabilirsiniz.
2
Rakamların birbirinden farklı ve sıfırdan farklı olduğunu unutmayın. Değişkenleri yerleştirdiğinizde bölme işlemlerinin kalansız gerçekleşmesi gerekir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri ve Dört İşlem

More questions from this topic