Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı \triangle işlemi, her x ve y pozitif gerçel… — ALES

Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

\triangle

işlemi, her

x

y

pozitif gerçel sayısı için

x \triangle y = \frac{x+y}{1 + x \cdot y}

şeklinde veriliyor.
Buna göre,

\left( \frac{1}{2} \triangle x \right) \triangle \frac{1}{3} = \frac{7}{9}

eşitliğini sağlayan

x

değeri aşağıdakilerden hangisidir?

İki bölü yedi yerine bir bölü yedi olan değer doğru cevaptır.

İşlem adımları sırasıyla takip edildiğinde,

\frac{1}{2} \triangle x = y

dönüşümüyle dıştaki işlem çözülerek

y = \frac{3}{5}

bulunur. Ardından

\frac{1}{2} \triangle x = \frac{3}{5}

denklemi kurulup rasyonel ifadeler düzenlendiğinde

x = \frac{1}{7}

sonucuna ulaşılır.

İçteki işlem olan

\frac{1}{2} \triangle x

ifadesine

y

diyerek dıştaki işlemi tek bir değişkene indirgeyin.

y \triangle \frac{1}{3} = \frac{7}{9}

denklemi elde edilir.

İç içe geçmiş işlemleri sırayla çözebilmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

y \triangle \frac{1}{3}

ifadesini işlem tanımına göre yazıp

y

değerini bulun.

\frac{y + \frac{1}{3}}{1 + y \cdot \frac{1}{3}} = \frac{7}{9} \Rightarrow \frac{3y+1}{3+y} = \frac{7}{9}

İçler dışlar çarpımı yapıldığında:

9(3y+1) = 7(3+y) \Rightarrow 27y+9 = 21+7y \Rightarrow 20y=12 \Rightarrow y = \frac{3}{5}

bulunur.

Tanımlanan özel işlemi uygulayarak rasyonel bir denklem elde etmek ve çözmek amaçlanmıştır.

y = \frac{3}{5}

değerini yerine yazarak

\frac{1}{2} \triangle x = \frac{3}{5}

denklemini çözün.

\frac{\frac{1}{2} + x}{1 + \frac{1}{2} \cdot x} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{1+2x}{2+x} = \frac{3}{5}

İçler dışlar çarpımı yapıldığında:

5(1+2x) = 3(2+x) \Rightarrow 5+10x = 6+3x \Rightarrow 7x=1 \Rightarrow x = \frac{1}{7}

bulunur.

Ara değişkenin değeri kullanılarak başlangıçtaki bilinmeyen olan

x

değerine ulaşılır.

Özel tanımlı fonksiyonlarda/işlemlerde değişken değiştirme yöntemi ve rasyonel denklemlerin çözümü.

Question