Arda, Burak, Cem, Deniz ve Elif'in katıldığı bir satranç turnuvasında her oyuncu diğer oyu… — ALES

Arda, Burak, Cem, Deniz ve Elif'in katıldığı bir satranç turnuvasında her oyuncu diğer oyuncularla birer kez karşılaşmıştır. Turnuvada galibiyete $3$ puan, beraberliğe $1$ puan verilirken mağlubiyete puan verilmemektedir.

Turnuva sonunda oyuncuların topladıkları puanlar şu şekildedir:
- Arda: $10$
- Burak: $7$
- Cem: $5$
- Deniz: $4$
- Elif: $1$

Buna göre, bu turnuvayla ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A
Arda, Elif ile yaptığı maçı kazanmıştır.
B
Burak, Deniz ile yaptığı maçı kazanmıştır.
Turnuvaya katılan her oyuncu en az bir maçta berabere kalmıştır.Answer
D
Deniz, Elif ile yaptığı maçı kazanmıştır.
E
Deniz, turnuvadaki maçlarının hiçbirinde berabere kalmamıştır.

Answer

Turnuvaya katılan her oyuncu en az bir maçta berabere kalmıştır.

Doğru cevap olan 'Turnuvaya katılan her oyuncu en az bir maçta berabere kalmıştır' ifadesi kesinlikle doğrudur. Çünkü oyuncuların puan analizi yapıldığında Arda (

1

), Burak (

1

), Cem (

2

) ve Elif (

1

) kesinlikle beraberlik almıştır. Deniz'in ise

4

puanı elde edebilmesi için ya

1

galibiyet,

1

beraberlik alması ya da

4

beraberlik alması gerekir. Her iki durumda da Deniz'in en az bir beraberliği olmak zorundadır. Böylece turnuvadaki tüm oyuncular en az birer maçta berabere kalmış olur.

Step-by-Step Solution

Oyuncuların yaptıkları maç sayılarını ve toplam maç sayısını belirleyelim.

Turnuvada

5

oyuncu olduğundan, her oyuncu diğer

4

oyuncuyla birer maç yapmıştır. Toplam maç sayısı

\frac{5 \times 4}{2} = 10

olarak bulunur.

Her oyuncunun galibiyet, beraberlik ve mağlubiyet sayılarının toplamının

4

olması gerektiğini bilmemiz gerekir.

Oyuncuların puanlarına göre alabilecekleri olası galibiyet (G), beraberlik (B) ve mağlubiyet (M) kombinasyonlarını çıkaralım.

Arda (

10

puan) için tek olasılık:

3G, 1B, 0M

.
Burak (

7

puan) için tek olasılık:

2G, 1B, 1M

.
Cem (

5

puan) için tek olasılık:

1G, 2B, 1M

.
Elif (

1

puan) için tek olasılık:

0G, 1B, 3M

.
Deniz (

4

puan) için iki olası durum vardır:
- Durum I:

1G, 1B, 2M

- Durum II:

0G, 4B, 0M

Her bir oyuncunun elde ettiği puan, galibiyet sayısı çarpı

3

ve beraberlik sayısı çarpı

1

formülü ile hesaplanır.

Deniz'in olası durumlarından hangisinin geçerli olduğunu belirlemek için beraberlik sayılarını ve turnuva dengesini analiz edelim.

Eğer Deniz Durum II'deki gibi

4B

almış olsaydı, turnuvadaki toplam beraberlik katılımı

1 \text{ (Arda)} + 1 \text{ (Burak)} + 2 \text{ (Cem)} + 4 \text{ (Deniz)} + 1 \text{ (Elif)} = 9

olurdu. Bir beraberlik maçı iki oyuncu tarafından paylaşıldığından, tüm oyuncular��n beraberlik sayılarının toplamı çift bir sayı olmak zorundadır.

9

tek sayı olduğundan Deniz'in

4

beraberlik alması imkansızdır. Ayrıca, Deniz

4

beraberlik alsaydı turnuvadaki toplam galibiyet sayısı (

6

), toplam mağlubiyet sayısına (

5

) eşit olamazdı. Bu nedenle Deniz kesinlikle Durum I'deki gibi

1G, 1B, 2M

istatistiğine sahiptir.

Turnuvadaki toplam galibiyet sayısı toplam mağlubiyet sayısına eşit olmalı ve toplam beraberlik puanı alan oyuncu sayısı çift olmalıdır.

Tüm oyuncuların beraberlik sayılarını kontrol ederek kesin sonuca ulaşalım.

Arda (

1B

), Burak (

1B

), Cem (

2B

), Deniz (

1B

) ve Elif (

1B

) olmak üzere her oyuncunun en az bir beraberliği mevcuttur.

Bütün oyuncuların beraberlik sütunundaki değerlerin sıfırdan büyük olması, turnuvadaki herkesin en az bir kez berabere kaldığını gösterir.

Key Concept

Turnuva Problemlerinde Matris Dengesi ve Parite Analizi

Hints

Oyuncuların puanlarından yola çıkarak kaçar galibiyet ve beraberlik aldıklarını ayrı ayrı hesaplamaya çalışın.

Deniz'in

4

puanı için iki olasılık vardır (

1G, 1B, 2M

veya

0G, 4B, 0M

). Bu olasılıklardan hangisinin turnuvadaki toplam galibiyet ve beraberlik dengesine uyduğunu kontrol edin.

Turnuvadaki tüm beraberliklerin toplamı çift bir sayı olmalıdır çünkü her beraberlik maçı iki kişiye birer beraberlik yazar. Bu kuralı kullanarak Deniz'in kesinlikle

1

beraberlik aldığını kanıtlayabilirsiniz.

Practice More

Benzer sorularda takımların ya da oyuncuların galibiyet-mağlubiyet dengesini kurmak için 'toplam atılan gol-yenilen gol' ya da 'toplam galibiyet-toplam mağlubiyet' eşitliklerini her zaman göz önünde bulundurun.

Alternative Method

Toplam galibiyet sayısı ile toplam mağlubiyet sayısının eşit olması kuralını kullanabiliriz. Deniz'in

4

beraberlik (

0G, 0M

) aldığı durumda turnuvadaki diğer oyuncuların galibiyetleri toplamı

6

iken mağlubiyetleri toplamı

5

çıkmaktadır. Galibiyet ve mağlubiyet sayıları eşit olmak zorunda olduğundan Deniz'in

4

beraberlik alması imkansızdır ve mutlaka

1

beraberliği bulunmalıdır.

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Topics

More questions from this topic