Examkin

Question

Difficulty: HardBileşke Fonksiyon
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−x+1f(x) = x^2 - x + 1
g(x)=2x+mg(x) = 2x + m
fonksiyonları veriliyor.
(f∘g)(x)=(g∘f)(x)(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)
eşitliğini sağlayan yalnızca bir tane xx gerçel sayısı olduğuna göre, mm kaçtır?
  1. A
    -3
  2. B
    -2
  3. -1Answer
  4. D
    0
  5. E
    1

Answer

m değeri -1 olmalıdır.
Verilen f ve g fonksiyonları bileşke işlemine tabi tutulup birbirine eşitlendiğinde elde edilen 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0 denkleminin yalnızca bir kökünün olması için diskriminantı sıfır olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek gerçel sayı m = -1 değeridir.

Step-by-Step Solution

1
(f o g)(x) fonksiyonunu bulmak için f(x) ifadesinde x yerine g(x) yazılır.
(f o g)(x) = (2x + m)^2 - (2x + m) + 1 = 4x^2 + (4m - 2)x + m^2 - m + 1
Bileşke fonksiyon tanımını uygulamak.
2
(g o f)(x) fonksiyonunu bulmak için g(x) ifadesinde x yerine f(x) yazılır.
(g o f)(x) = 2(x^2 - x + 1) + m = 2x^2 - 2x + 2 + m
İkinci bileşke fonksiyonu elde etmek.
3
Eşitliği kullanarak ikinci dereceden tek değişkenli bir denklem oluşturulur.
4x^2 + (4m - 2)x + m^2 - m + 1 = 2x^2 - 2x + 2 + m => 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0
x değerlerini bulabilmek için denklemi standart forma getirmek.
4
Denklemin yalnızca bir tane gerçel kökü olması için diskriminantı (Delta) sıfıra eşitlenir.
Delta = (4m)^2 - 4 * 2 * (m^2 - 2m - 1) = 0 => 16m^2 - 8(m^2 - 2m - 1) = 0 => 8m^2 + 16m + 8 = 0 => m^2 + 2m + 1 = 0 => (m + 1)^2 = 0 => m = -1
İkinci dereceden denklemlerde tek kök bulunması (çakışık kök) şartını uygulamak.

Key Concept

Bileşke fonksiyonların hesabı ve ikinci dereceden denklemlerde tek kök olma (diskriminantın sıfır olması) şartının bir arada kullanılması.

Alternative Method

Eşitlik düzenlendikten sonra elde edilen 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0 denklemi tam kareye tamamlama yöntemiyle de çözülebilir. İfade 2(x + m)^2 - m^2 - 2m - 1 = 0 haline getirilir. Buradan (x + m)^2 = (m^2 + 2m + 1)/2 elde edilir. Tek bir x çözümünün olması için sağ taraf sıfır olmalıdır. Buradan m^2 + 2m + 1 = 0 ve m = -1 bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Bileşke Fonksiyon

More questions from this topic