Examkin

Question

Difficulty: HardAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede bulunan A(2,6)A(2, 6) noktasından geçen bir dd doğrusu, koordinat eksenleri ile birinci bölgede alanı 2525 birimkare olan dik bir üçgen oluşturmaktadır.

Buna göre, bu dd doğrusunun eğimi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A
    −3-3
  2. B
    22
  3. −2-2Answer
  4. D
    −12-\frac{1}{2}
  5. E
    −52-\frac{5}{2}

Answer

Doğrunun eğimi −2-2 olabilir.
Doğrunun eksenleri kestiği noktalar aa ve bb olmak üzere, alan formülünden a⋅b=50a \cdot b = 50 ve A(2,6)A(2,6) noktasının doğru denkleminde yerine yazılmasıyla b+3a=25b + 3a = 25 denklemi elde edilir. Bu denklem sisteminin çözümünden elde edilen iki olası aa değerinden biri 55, buna karşılık gelen bb değeri ise 1010'dur. Buradan doğrunun eğimi m=−ba=−105=−2m = -\frac{b}{a} = -\frac{10}{5} = -2 olarak bulunur. Bu değer seçeneklerde yer alan −2-2 ifadesi ile tam olarak uyuşmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları tanımlayalım.
Doğrunun eksenleri kestiği noktalar (a,0)(a, 0) ve (0,b)(0, b) olsun. Eksenlerle birinci bölgede oluşturulan üçgen dik üçgen olduğundan a>0a > 0 ve b>0b > 0 olmalıdır.
Eksenleri kestiği noktaları bilinen doğru denklemini yazmak için koordinatları değişken olarak belirleriz.
2
Doğru denklemini eksenleri kestiği noktalar cinsinden yazalım ve verilen noktanın koordinatlarını yerine koyalım.
Doğru denklemi xa+yb=1\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 şeklindedir. Doğru A(2,6)A(2, 6) noktasından geçtiği için bu koordinatları yerine yazdığımızda 2a+6b=1\frac{2}{a} + \frac{6}{b} = 1 elde ederiz.
Verilen noktanın doğrunun üzerinde olması, koordinatlarının doğru denklemini sağlamasını gerektirir.
3
Üçgenin alan formülünü kullanarak aa ve bb değişkenleri arasındaki ilişkiyi bulalım ve denklem sistemini kuralım.
Eksenlerle oluşturulan dik üçgenin alanı a⋅b2=25  ⟹  a⋅b=50  ⟹  b=50a\frac{a \cdot b}{2} = 25 \implies a \cdot b = 50 \implies b = \frac{50}{a} olur. Bu ifadeyi birinci adımda bulduğumuz denklemde yerine yazarsak: 2a+6a50=1  ⟹  2a+3a25=1\frac{2}{a} + \frac{6a}{50} = 1 \implies \frac{2}{a} + \frac{3a}{25} = 1 elde edilir.
İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli bir denkleme dönüştürmek için yerine koyma metodunu uygularız.
4
Elde edilen rasyonel denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir denklem elde edelim ve çarpanlarına ayıralım.
Payda eşitleyip düzenlediğimizde 50+3a2=25a  ⟹  3a2−25a+50=050 + 3a^2 = 25a \implies 3a^2 - 25a + 50 = 0 olur. Çarpanlara ayırdığımızda (3a−10)(a−5)=0(3a - 10)(a - 5) = 0 elde edilir. Buradan a=5a = 5 veya a=103a = \frac{10}{3} bulunur.
İkinci derece denklemin kökleri, doğrunun xx-eksenini kesebileceği olası noktaları verir.
5
Bulunan aa değerlerine karşılık gelen bb değerlerini bulalım ve doğrunun eğimini hesaplayalım.
a=5a = 5 için b=10b = 10 olur. Bu durumda eğim m=−ba=−105=−2m = -\frac{b}{a} = -\frac{10}{5} = -2 elde edilir. a=103a = \frac{10}{3} için b=15b = 15 olur. Bu durumda eğim m=−1510/3=−92m = -\frac{15}{10/3} = -\frac{9}{2} elde edilir. Seçeneklerde −2-2 değeri bulunduğundan doğru cevap bu değerdir.
Eksenleri kestiği noktaları bilinen bir doğrunun eğimini bulmak için eğim formülünü uygularız.

Key Concept

Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğru Denklemi ve Eğimi

Hints

1
Doğrunun eksenleri kestiği noktaları (a,0)(a, 0) ve (0,b)(0, b) olarak belirleyip, eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin alan formülünü yazın.
2
Eksenleri kestiği noktaları bilinen doğru denklemini yazın ve A(2,6)A(2, 6) noktasının bu denklemi sağlaması gerektiğini kullanarak bir denklem sistemi oluşturun.

Practice More

Benzer bir mantık kullanarak, doğrunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanını minimum yapan doğrunun eğimini türev yardımıyla veya aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği kullanarak bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Doğrunun eğimine mm diyelim. A(2,6)A(2, 6) noktasından geçen ve eğimi mm olan doğrunun denklemi y−6=m(x−2)y - 6 = m(x - 2) şeklindedir. Bu doğrunun xx ve yy eksenlerini kestiği noktaları mm cinsinden bulabiliriz. x=0x = 0 için y=6−2my = 6 - 2m ve y=0y = 0 için x=2−6mx = 2 - \frac{6}{m} olur. Eksenlerle sınırlanan bölgenin alanı 12⋅(2−6m)⋅(6−2m)=25\frac{1}{2} \cdot \left(2 - \frac{6}{m}\right) \cdot (6 - 2m) = 25 olur. Bu denklemi düzenleyip çözerek de mm değerlerini doğrudan bulabilirsiniz: 2m2+13m+18=0  ⟹  (2m+9)(m+2)=0  ⟹  m=−22m^2 + 13m + 18 = 0 \implies (2m + 9)(m + 2) = 0 \implies m = -2 veya m=−92m = -\frac{9}{2}.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Analitik Geometri

More questions from this topic