Examkin

Question

Difficulty: MediumÇemberin Çevresi ve Yay Uzunluğu

Yarıçapı 24 cm24\text{ cm} olan sabit bir dairesel pistin iç kısmında, yarıçapı 6 cm6\text{ cm} olan başka bir çember kaymadan dönerek ilerlemektedir. Küçük çember, büyük çemberin iç duvarı boyunca tam bir tur (büyük çember etrafında tam bir dolanım) yapıp başladığı noktaya geri döndüğünde, kendi merkezi etrafında kaç tam devir yapmış olur?

  1. 3Answer
  2. B
    4
  3. C
    5
  4. D
    8
  5. E
    16

Answer

Küçük çember kendi merkezi etrafında 3 tam devir yapmış olur.
Küçük çember büyük çemberin içerisinde kaymadan ilerlediğinde, küçük çemberin merkezinin aldığı yol yarıçapı 18 cm18\text{ cm} olan bir çember oluşturur. Bu yolun uzunluğu olan 36π cm36\pi\text{ cm} değeri, küçük çemberin kendi çevre uzunluğu olan 12π cm12\pi\text{ cm} değerine bölündüğünde 3 tam devir yaptığı bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Küçük çemberin merkezisinin izlediği dairesel yolun yarıçapını belirlemek.
Yolun yarıçapı: Ryol=R−r=24−6=18 cmR_{\text{yol}} = R - r = 24 - 6 = 18\text{ cm}
Küçük çember büyük çemberin iç kısmında teğet olarak dolandığı için, küçük çemberin merkezinin büyük çemberin merkezine olan uzaklığı iki yarıçapın farkı kadar olur.
2
Küçük çemberin merkezinin aldığı toplam yolu (izlediği yörüngenin çevre uzunlu��unu) hesaplamak.
Yörünge çevresi: Cyol=2⋅π⋅Ryol=2⋅π⋅18=36π cmC_{\text{yol}} = 2 \cdot \pi \cdot R_{\text{yol}} = 2 \cdot \pi \cdot 18 = 36\pi\text{ cm}
Dönme hareketi sırasında alınan toplam yol, küçük çemberin merkezinin çizdiği çemberin çevresine eşittir.
3
Küçük çemberin kendi çevre uzunluğunu hesaplamak.
Küçük çemberin çevresi: Cku¨c¸u¨k=2⋅π⋅r=2⋅π⋅6=12π cmC_{\text{küçük}} = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot 6 = 12\pi\text{ cm}
Bir tam devirde çemberin kendi çevresi kadar yol alacağını bilerek bu değeri bölen olarak kullanacağız.
4
Toplam devir sayısını bulmak için merkez yolunun uzunluğunu küçük çemberin çevresine bölmek.
Devir sayısı: Devir=CyolCku¨c¸u¨k=36π12π=3\text{Devir} = \frac{C_{\text{yol}}}{C_{\text{küçük}}} = \frac{36\pi}{12\pi} = 3
Toplam alınan yolun, bir devirde alınan yola oranı toplam devir sayısını verir.

Key Concept

Çemberin içte dönme hareketinde merkezinin aldığı yol ve devir sayısı ilişkisi.

Hints

1
Küçük çember dönerken, onun merkez noktasının çizdiği yörüngeyi düşünün. Bu yörüngenin yarıçapı kaç cm\text{cm}'dir?
2
Küçük çemberin merkezinin çizdiği yörüngenin yarıçapı, büyük çemberin yarıçapı ile küçük çemberin yarıçapının farkına eşittir (24−6=18 cm24 - 6 = 18\text{ cm}).
3
Merkezin aldığı yolu (2⋅π⋅182 \cdot \pi \cdot 18) küçük çemberin kendi çevresine (2⋅π⋅62 \cdot \pi \cdot 6) bölerek toplam devir sayısını bulun.

Practice More

Benzer şekilde, küçük çember büyük çemberin dış çeperi boyunca dönerek ilerleseydi devir sayısının nasıl değişeceğini hesaplayabilirsiniz.

Alternative Method

Dönme hareketlerinde genel formül kullanılabilir: İçten dönme durumunda devir sayısı N=R−rrN = \frac{R - r}{r} formülü ile hesaplanır. Buradan N=24−66=3N = \frac{24 - 6}{6} = 3 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Çemberin Çevresi ve Yay Uzunluğu

More questions from this topic