Çember ve Daire Practice Questions — ALES

Question 1Question →

Bir kenar uzunluğu $4\text{ cm}$ olan $ABCD$ karesinin içine, $D$ köşesi merkez kabul edilerek $4\text{ cm}$ yarıçaplı bir çeyrek daire çizilmiştir. Buna göre, karenin içinde olup çeyrek dairenin dışında kalan taralı bölgenin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

16 - 16\pi

16 - 8\pi

16 - 4\pi

16 - 2\pi

8 - 4\pi

Show answer & explanation

Answer: $16 - 4\pi$

Answer

Karenin alanından çeyrek dairenin alanının çıkarılmasıyla elde edilen

16 - 4\pi

ifadesidir.

Taralı alan, bir kenarı

4\text{ cm}

olan karenin alanından (

16\text{ cm}^2

), merkez açısı

90^\circ

(çeyrek daire) ve yarıçapı

4\text{ cm}

olan daire diliminin alanının (

4\pi\text{ cm}^2

) çıkarılmasıyla bulunur. Bu işlem sonucunda

16 - 4\pi

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Karenin alanını hesaplayın.

S_{\text{kare}} = 4 \times 4 = 16\text{ cm}^2

Taralı bölgenin sınırlandığı dış şekil bir kenarı

4\text{ cm}

olan bir karedir.

2

Yarıçapı

4\text{ cm}

olan çeyrek dairenin alanını hesaplayın.

S_{\text{çeyrek daire}} = \frac{1}{4} \times \pi \times r^2 = \frac{1}{4} \times \pi \times 4^2 = 4\pi\text{ cm}^2

Çeyrek daire, tüm daire alanının dörtte birine eşittir.

3

Taralı bölgenin alanını bulmak için çeyrek dairenin alanını karenin alanından çıkarın.

S_{\text{taralı}} = S_{\text{kare}} - S_{\text{çeyrek daire}} = 16 - 4\pi\text{ cm}^2

İstenen alan, karenin alanından kesilen çeyrek dairelik kısmın çıkarılmasıyla geriye kalan bölgedir.

Key Concept

Bir geometrik şeklin alanından diğerinin alanını çıkararak taralı bölgenin alanını bulma uygulaması.

Hints

1

Taralı bölgenin alanını doğrudan formülle bulmak yerine, tüm karenin alanından beyaz renkli çeyrek dairenin alanını çıkarmayı düşünün.

2

Karenin kenarı

4\text{ cm}

olduğuna göre alanı

4^2 = 16\text{ cm}^2

'dir. Beyaz bölge ise yarıçapı

4\text{ cm}

olan bir çeyrek dairedir.

Estimated Time:45s

Question 2Question →

Bir $O$ merkezli ve $R = 2 + \text{sim}\text{ cm}$ değil, $R = 2 + \sqrt{2}\text{ cm}$ yarıçaplı çeyrek çemberin içine; çember yayına ve birbirine dik olan $OA$ ile $OB$ yarıçap doğrularına teğet olacak şekilde $M$ merkezli küçük bir çember çiziliyor.

Bu küçük çembere, $O$ noktasına en yakın olan $T$ noktasından çizilen teğet doğrusu, $OA$ yarıçapını $P$ noktasında ve $OB$ yarı��apını $Q$ noktasında kesmektedir.

Buna göre, $PQ$ doğru parçasının uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

2\sqrt{2} - 2

2\sqrt{2}

4 - 2\sqrt{2}

4\sqrt{2} - 4

4 + 2\sqrt{2}

Show answer & explanation

Answer: $4 - 2\sqrt{2}$

Answer

Dört eksi iki kök iki

Çemberlerin teğetlik bağıntısından küçük çemberin yarıçapı

r = \sqrt{2}\text{ cm}

olarak bulunur.

O

noktasına en yakın teğet noktası

T

için

OT = OM - r = 2 - \sqrt{2}\text{ cm}

'dir.

T

noktasından çizilen teğet doğrusu

OM

doğrusuna dik olduğundan, eksenlerle oluşturduğu

OPQ

üçgeni ikizkenar dik üçgendir. Bu üçgende

OT

yüksekliği hipotenüsün yarısına eşit olduğundan

PQ = 2 \cdot OT = 4 - 2\sqrt{2}\text{ cm}

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Küçük çemberin yarıçapını (

r

) belirlemek için çeyrek çemberin merkezi ile küçük çemberin merkezini birleştiren doğruyu çiziniz.

M

merkezli küçük çember, dik

OA

ve

OB

doğrularına teğet olduğundan merkez koordinatları

(r, r)

olur ve

OM = r\sqrt{2}

olarak bulunur.

Eksenlere teğet olan çemberin merkezinin eksenlere olan dik uzaklıkları yarıçapa eşittir ve orijine uzaklığı Pisagor bağıntısı ile hesaplanır.

2

Küçük çemberin büyük çeyrek çemberin yayına teğet olduğu noktayı

H

olarak belirleyip

r

değerini hesaplayınız.

OM + MH = R \Rightarrow r\sqrt{2} + r = 2 + \sqrt{2} \Rightarrow r(\sqrt{2}+1) = \sqrt{2}(\sqrt{2}+1) \Rightarrow r = \sqrt{2}\text{ cm}

bulunur.

Teğet olan çemberlerin merkezleri ve değme noktası doğrusaldır; bu doğrusal hattın toplam uzunluğu büyük çeyrek çemberin yarıçapına eşittir.

3

O

noktasına en yakın teğet noktası olan

T

'nin

O

'ya uzaklığını bulunuz.

OT = OM - r = r\sqrt{2} - r = 2 - \sqrt{2}\text{ cm}

'dir.

T

noktası

OM

doğrusu üzerinde ve çemberin

O

noktasına bakan tarafındaki sınırında yer alır.

4

T

noktasındaki teğetin oluşturduğu

OPQ

dik üçgeninde

PQ

uzunluğunu hesaplayınız.

OPQ

üçgeni teğet dikliğinden dolayı

O

köşesinde dik açısı olan bir ikizkenar dik üçgendir.

OT

bu üçgenin hipotenüse ait yüksekliği olup

PQ = 2 \cdot OT = 2(2 - \sqrt{2}) = 4 - 2\sqrt{2}\text{ cm}

'dir.

45^\circ - 45^\circ - 90^\circ

üçgeninin simetri özelliğinden dolayı muhteşem üçlü kuralı geçerlidir ve yükseklik hipotenüsün yarısıdır.

Key Concept

İki çemberin birbirine teğet olması durumunda merkezlerinin doğrusal olması ve teğet doğrularının değme noktasında yarıçapa dik olması özellikleri.

Hints

1

Küçük çemberin merkezini

M

olarak belirleyip eksenlere olan dik uzaklıklarının

r

olduğunu ve büyük çeyrek çemberin yarıçapının

R = 2 + \sqrt{2}

olduğunu kullanın.

2

O

,

M

ve büyük çember üzerindeki teğet noktasının doğrusal olduğunu göz önünde bulundurarak

OM + r = R

eşitliğinden

r

değerini hesaplayın.

3

T

noktasındaki teğet doğrusu

OM

doğrusuna diktir.

OPQ

üçgeninin tepe açısı

90^\circ

olan bir ikizkenar dik üçgen olduğunu fark edin ve muhteşem üçlüyü uygulayın.

Practice More

Benzer şekilde, küçük çemberin çeyrek çemberin dış teğet çemberi olması durumundaki yarıçap oranlarını ve teğet özelliklerini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Analitik geometri kullanarak çözebilirsiniz:

O

noktasını orijin

(0,0)

kabul edip

OA

ve

OB

doğrularını sırasıyla

x

ve

y

eksenleri olarak tanımlayın. Küçük çemberin merkezi

M(r,r)

olur.

x^2 + y^2 = R^2

çeyrek çemberi ile

(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2

çemberinin teğetlik şartından

r

'yi bulun. Ardından

T

noktasının koordinatlarını bulup bu noktadaki teğet doğrusunun denklemini yazarak eksenleri kestiği noktaların uzaklığını hesaplayabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 3Question →

Yarıçapı $6\text{ cm}$ olan O merkezli bir çemberde, ölçüsü $60^\circ$ olan merkez açının gördüğü yayın uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir? ( $\pi = 3$ alınız.)

3

18

6

12

36

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6

Yayın uzunluğu, tüm çemberin çevresi olan

36\text{ cm}

'nin

60^\circ/360^\circ = 1/6

'sına eşittir. Dolayısıyla doğru yanıt

6\text{ cm}

olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Çemberin tüm çevresini hesaplamak için

2\pi r

formül��nü kullanırız.

Çevre =

2 \times 3 \times 6 = 36\text{ cm}

Belirli bir açılık yayın uzunluğunu hesaplamak için öncelikle tüm çevre uzunluğunu bulmamız gerekir.

2

60^\circ

lik merkez açının gördüğü yay uzunluğunu bulmak için tüm çevreyi

\frac{60^\circ}{360^\circ}

oranı ile çarparız.

Yay uzunluğu =

36 \times \frac{60}{360} = 36 \times \frac{1}{6} = 6\text{ cm}

60^\circ

lik merkez açının gördüğü yay, tüm çemberin (

360^\circ

) altıda birine denk gelmektedir.

Key Concept

Çemberde yay uzunluğu formülü:

L = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ}

Question 4Question →

Bir dairesel yürüyüş yolunun yarıçapı $15\text{ metre}$ olarak belirlenmiştir. Bu yolda yürüyüşe başlayan bir sporcu, merkez açısı $72^\circ$ olan bir yay boyunca yürüdüğünde toplam kaç $\pi\text{ metre}$ yol almış olur?

3

6

12

30

45

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Sporcu yürüy��şü boyunca

6\pi

metre yol almıştır.

Doğru cevap olan

6

değeri, yarıçapı

15\text{ m}

ve merkez açısı

72^\circ

olan çember yayının uzunluk formülü olan

2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}

kullanılarak elde edilir. Bu formülden

2\pi \cdot 15 \cdot \frac{72}{360} = 6\pi

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Çemberin yay uzunluğu formülünü belirleme.

L = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}

Merkez açının gördüğü yayın uzunluğunu bulmak için çemberin çevre formülü ile merkez açının tüm açısına (

360^\circ

) oranı çarpılır.

2

Verilen değerleri formülde yerine yazarak hesaplama yapma.

L = 2\pi \cdot 15 \cdot \frac{72}{360} = 30\pi \cdot \frac{1}{5} = 6\pi\text{ metre}

Yarıçap

r = 15\text{ m}

ve merkez açı

\alpha = 72^\circ

değerleri kullanılarak yay uzunluğu hesaplanır.

Key Concept

Bir çemberde merkez açının gördüğü yay uzunluğunun hesaplanması.

Estimated Time:45s

Question 5Question →

Bir çemberde, aynı yayı gören bir merkez açının ölçüsü ile bir çevre açının ölçüsünün toplamı $120^\circ$ olarak verilmiştir. Buna göre, bu çevre açının ölçüsü kaç derecedir?

30^\circ

60^\circ

40^\circ

80^\circ

45^\circ

Show answer & explanation

Answer: $40^\circ$

Answer

Çevre açının ölçüsü

40^\circ

derecedir.

Aynı yayı gören çevre açının ölçüsü

x

ise, merkez açının ölçüsü

2x

olur. Bu iki açının ölçüleri toplamı

120^\circ

olduğundan

3x = 120^\circ

denklemi elde edilir ve buradan çevre açının ölçüsü

x = 40^\circ

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Çevre açı ile aynı yayı gören merkez açı arasındaki ilişkiyi belirlemek.

Çevre açının ölçüsüne

x

denilirse, aynı yayı gören merkez açının ölçüsü

2x

olur.

Bir çemberde aynı yayı gören merkez açının ölçüsü, çevre açının ölçüsünün iki katına eşittir.

2

Verilen toplam bilgisini kullanarak denklem kurmak ve çözmek.

x + 2x = 120^\circ \Rightarrow 3x = 120^\circ \Rightarrow x = 40^\circ

bulunur.

Merkez açı ile çevre açının ölçüleri toplamı

120^\circ

olarak verilmiştir.

Key Concept

Bir çemberde aynı yayı gören merkez açının ölçüsü, çevre açının ölçüsünün iki katıdır.

Hints

1

Aynı yayı gören merkez açı ile çevre açı arasındaki büyüklük ilişkisini hatırlayın.

2

Aynı yayı gören bir merkez açının ölçüsü, çevre açının ölçüsünün 2 katıdır. Çevre açının ölçüsüne

x

diyerek bir denklem kurmayı deneyin.

3

Çevre açının ölçüsüne

x

dersek merkez açının ölçüsü

2x

olur. Bu iki açının toplamı

x + 2x = 120^\circ

olacaktır. Buradan

x

değerini hesaplayabilirsiniz.

Practice More

Aynı yayı gören çevre açının ölçüsü

50^\circ

olan bir çemberde, aynı yayı gören merkez açının ölçüsünü bulunuz.

Alternative Method

Aynı yayı gören merkez açının çevre açının 2 katı olduğunu bildiğimizden, toplam açı ölçüsü olan

120^\circ

, çevre açının 3 katına denk gelmektedir. Doğrudan

120^\circ / 3 = 40^\circ

işlemiyle de sonuca ulaşılabilir.

Estimated Time:45s

Question 6Question →

$O$ merkezli ve $R$ yarıçaplı çeyrek daire dilimi şeklindeki bir ahşap levhanın içerisine; levhanın dik yarıçap kenarlar��na ve çeyrek çember yayına teğet olacak biçimde yerleştirilebilecek en büyük çemberin yarıçapı $r$ 'dir. Buna göre, içteki çemberin çevre uzunluğunun levhanın çeyrek yay uzunluğuna oranı aşağıdakilerden hangisidir?

\sqrt{2} - 1

2\sqrt{2} - 2

12 - 8\sqrt{2}

4\sqrt{2} - 4

2\sqrt{3} - 2

Show answer & explanation

Answer: $4\sqrt{2} - 4$

Answer

İçteki çemberin çevre uzunluğunun levhanın çeyrek yay uzunluğuna oranı

4\sqrt{2} - 4

olmalıdır.

Doğru cevap olan ifade, çeyrek dairenin yarıçapı ile içteki çemberin yarıçapı arasındaki geometrik ilişkiden elde edilen orandır. Köşegen uzunluğu

r\sqrt{2}

olan karenin köşesine

r

kadar yarıçap eklendiğinde çeyrek dairenin yarıçapı

R = r(\sqrt{2} + 1)

olur. Çevrelerin oranı hesaplandığında

4\sqrt{2} - 4

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Çeyrek dairenin merkezini

O

, içteki çemberin merkezini

M

ve teğet noktalarını

[OA]

üzerinde

T_1

,

[OB]

üzerinde

T_2

olarak belirleyip

OT_1MT_2

karesini oluşturmak.

Bir kenarı

r

olan

OT_1MT_2

karesi elde edilir.

İçteki çemberin yarıçapı ile çeyrek dairenin dik kenarları arasındaki geometrik ilişkiyi kurmak.

2

Karenin köşegeni olan

[OM]

uzunluğunu Pisagor bağıntısı yardımıyla hesaplamak.

OM = r\sqrt{2}

olarak bulunur.

Merkezler arasındaki uzaklığı yarıçap cinsinden ifade etmek.

3

İçteki çemberin dış yaya teğet olduğu noktayı

P

olarak adlandırıp,

O

,

M

ve

P

noktalarının doğrusallığını kullanarak çeyrek dairenin yarıçapı

R

'yi

r

cinsinden yazmak.

OP = R = OM + MP = r\sqrt{2} + r = r(\sqrt{2} + 1)

denklemi elde edilir.

İki dairenin yarıçapları arasındaki bağıntıyı kurmak.

4

İçteki çemberin çevre uzunluğunu (

Ç_1 = 2\pi r

) ve çeyrek dairenin yay uzunluğunu (

Yay = \frac{2\pi R}{4} = \frac{\pi R}{2}

) formüllerini yazıp oranlamak.

Oran

= \frac{2\pi r}{\frac{\pi R}{2}} = \frac{4r}{R} = \frac{4r}{r(\sqrt{2} + 1)} = \frac{4}{\sqrt{2} + 1}

bulunur.

İstenen çevre uzunlukları oranını bulmak.

5

Elde edilen oranı paydanın eşleniği (

\sqrt{2} - 1

) ile çarparak rasyonel hale getirmek.

\frac{4(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 4\sqrt{2} - 4

bulunur.

Sonucu en sade ve seçeneklerdeki biçimiyle elde etmek.

Key Concept

Bir çemberin çevresi

2\pi r

ve bir daire diliminin yay uzunluğu

\frac{\alpha}{360} \cdot 2\pi R

formülüyle hesaplanır. İki geometrik şekil arasındaki teğetlik durumunda merkezlerin birleştirilmesiyle elde edilen doğrusal hatlar yarıçap ilişkisini kurmamızı sağlar.

Question 7Question →

Bir $O$ merkezli çemberin yarıçap�� $9\text{ cm}$ 'dir. Çemberin dışındaki bir $P$ noktasından çembere çizilen teğet doğrusu, çembere $T$ noktasında değmektedir. $P$ noktasının çembere en yakın uzaklığı $6\text{ cm}$ olduğuna göre, teğet parçasının uzunluğu ( $|PT|$ ) kaç santimetredir?

6

8

12

15

18

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Teğet parçasının uzunluğu 12 cm'dir.

12 cm değerini içeren seçenek doğrudur. Çemberin teğet noktasına çizilen yarıçap teğet doğrusuna dik olduğundan, OTP dik üçgeni elde edilir. Bu üçgende hipotenüs uzunluğu merkezden dıştaki noktaya olan uzaklık olan 15 cm, dik kenarlardan biri ise yarıçap uzunluğu olan 9 cm'dir. Pisagor teoremiyle diğer dik kenar olan teğet parçasının uzunluğu 12 cm olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Merkezden teğet noktasına yarıçapı çizmek ve uzunluğunu belirlemek.

|OT| = r = 9\text{ cm}

Çemberin merkezi ile teğet değme noktası arasındaki uzaklık yarıçapa eşittir.

2

Merkezden dıştaki P noktasına olan uzaklığı belirlemek.

|OP| = 9 + 6 = 15\text{ cm}

P noktasının çembere en yakın uzaklığı 6 cm olduğuna göre, bu uzaklığa yarıçap uzunluğu eklenerek merkezden P noktasına olan toplam uzaklık bulunur.

3

Teğet noktasındaki dikliği kullanarak dik üçgeni belirlemek.

[OT] \perp [PT]

olduğundan

OTP

bir dik üçgendir.

Çemberin teğet doğrusuna teğet noktasında çizilen yarıçap teğet doğrusuna diktir.

4

OTP dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak |PT| uzunluğunu hesaplamak.

|OP|^2 = |OT|^2 + |PT|^2 \implies 15^2 = 9^2 + |PT|^2 \implies 225 = 81 + |PT|^2 \implies |PT|^2 = 144 \implies |PT| = 12\text{ cm}

Dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

Key Concept

Bir çemberde teğet değme noktasına çizilen yarıçap, teğet doğrusuna diktir. Bu diklik yardımıyla oluşturulan dik üçgende Pisagor bağıntısı kullanılarak teğet veya merkez uzaklığı hesaplanabilir.

Hints

1

Çemberin merkezi O ile teğet değme noktası T'yi birleştiren yarıçapı çizin ve teğete dik olduğunu gösterin.

2

Merkezden P noktasına çizilen çizginin çemberi kestiği noktaya K derseniz, |OK| = 9 cm (yarıçap) ve |KP| = 6 cm olur. Buradan |OP| uzunluğunu bulun.

3

Oluşan OTP dik üçgeninde hipotenüs 15 cm, bir dik kenar ise 9 cm'dir. Diğer dik kenar olan |PT|'yi bulmak için Pisagor bağıntısını uygulayın.

Estimated Time:50s

Question 8Question →

Bir saat kadranında, yelkovanın uzunluğu akrebin uzunluğunun $2$ katıdır. Saat $12.00$ 'den $12.30$ 'a kadar geçen sürede, yelkovanın ucunun aldığı yol akrebin ucunun aldığı yolun kaç katıdır?

12

18

24

36

48

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Yelkovanın ucunun aldığı yol, akrebin ucunun aldığı yolun 24 katıdır.

Yelkovanın uzunluğu

2r

, akrebin uzunluğu

r

olsun. 30 dakikalık sürede yelkovan

180^\circ

(yarım tur) dönerek

2\pi(2r) \times \frac{180}{360} = 2\pi r

kadar yol alır. Aynı sürede akrep

15^\circ

dönerek

2\pi r \times \frac{15}{360} = \frac{\pi r}{12}

kadar yol alır. Yelkovanın aldığı yol akrebin aldığı yolun

\frac{2\pi r}{\frac{\pi r}{12}} = 24

katıdır.

Step-by-Step Solution

1

Akrebin ve yelkovanın yarıçap (uzunluk) ilişkisini belirleyelim.

Akrebin uzunluğu

r

ise yelkovanın uzunluğu

2r

olur.

Soruda yelkovanın uzunluğunun akrebin uzunluğunun 2 katı olduğu verilmiştir.

2

12.00 ile 12.30 aras��ndaki 30 dakikalık sürede akrep ve yelkovanın taradığı merkez açıları bulalım.

Yelkovan

180^\circ

, akrep ise

15^\circ

döner.

Yelkovan 60 dakikada tam tur (

360^\circ

) dönerken 30 dakikada yarım tur (

180^\circ

) döner. Akrep ise 12 saatte (

720

dakikada)

360^\circ

dönerken 30 dakikada

\frac{30}{720} \times 360^\circ = 15^\circ

d��ner.

3

Her iki ibrenin uç noktasının aldığı yay uzunluğunu (yolu) hesaplayalım.

Yelkovanın aldığı yol:

2\pi(2r) \times \frac{180}{360} = 2\pi r

. Akrebin aldığı yol:

2\pi r \times \frac{15}{360} = \frac{\pi r}{12}

.

Merkez açısı

\alpha

olan bir çember yayının uzunluğu

2\pi r \times \frac{\alpha}{360}

formülüyle bulunur.

4

Yelkovanın ucunun aldığı yolun akrebin ucunun aldığı yola oranını bulalım.

\frac{2\pi r}{\frac{\pi r}{12}} = 24

.

Yelkovanın aldığı yolu akrebin aldığı yola bölerek kat ilişkisini buluruz.

Key Concept

Çemberde yay uzunluğu formülü (

2\pi r \times \frac{\alpha}{360}

) ve saat kadranı üzerinde zaman-açı ilişkisinin belirlenmesi.

Hints

1

Akrep ve yelkovanın uzunluklarını sırasıyla

r

ve

2r

olarak belirleyin.

2

30 dakikada yelkovanın yarım tur (

180^\circ

) döndüğünü, akrebin ise bir saatte

30^\circ

döndüğü bilgisinden yararlanarak yarım saatte kaç derece döndüğünü bulun.

3

Yelkovan için yarıçapı

2r

ve açıyı

180^\circ

, akrep için yarıçapı

r

ve açıyı

15^\circ

alarak

2\pi R \times \frac{\alpha}{360}

formülüyle yolları hesaplayıp oranlayın.

Practice More

Aynı ibrelerin 12.00'den 12.20'ye kadar geçen sürede uçlarının aldığı yolların oranını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Dairesel hareketlerde çizgisel hız formülü

v = \omega \cdot R

kullanılabilir. Yelkovanın açısal hızı akrebin açısal hızının 12 katıdır (aynı sürede 12 kat daha fazla açı tarar). Yelkovanın yarıçapı da akrebin yarıçapının 2 katı olduğuna göre, çizgisel hızları (ve dolayısıyla aynı sürede aldıkları yolların) oranı

12 \times 2 = 24

olur.

Estimated Time:1m 30s

Question 9Question →

Bir dik açının kenarlarına teğet olan $12\text{ cm}$ yarıçaplı bir çember verilmiştir. Bu çemberin açının kenarları arasında kalan yayının üzerindeki bir $T$ noktasından çembere çizilen teğet doğrusu, açının kenarlarını $A$ ve $B$ noktalarında kesmektedir.

Buna göre, köşesi açının başlangıç noktası olan $OAB$ üçgeninin çevresi kaç $\text{cm}$ 'dir?

12

18

24

30

36

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Dik açının kollarına teğet olan çemberin teğet özelliklerinden faydalanıldığında, oluşan dik üçgenin çevresi çemberin yarıçapının iki katına eşittir. Bu nedenle çevre uzunluğu 24 cm'dir.

Doğru cevap 24 cm'dir. Çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunluklarının eşit olması kuralına göre, üçgenin kenarları arasındaki bağıntılar yazılıp toplandığında bilinmeyen teğet parçaları birbirini götürür. Geriye kalan sabit terimlerin toplamı, çemberin yarıçapının iki katı olan 24 cm değerini verir.

Step-by-Step Solution

1

Teğet noktalarını belirleme

Çemberin dik açının kollarına teğet olduğu noktalar

K

ve

L

olsun. Başlangıç noktası

O

olmak üzere, te��et kolları birbirine eşit olduğundan

|OK| = |OL| = r = 12\text{ cm}

olur.

Çemberin merkezinden teğet noktalarına çizilen yarıçaplar diktir ve kollarda oluşan dörtgen bir karedir.

2

Dış noktadan çizilen teğetlerin eşitliği özelliğini kullanma

A

noktasından çembere çizilen teğetler için

|AK| = |AT|

ve

B

noktasından çizilen teğetler için

|BL| = |BT|

eşitlikleri elde edilir.

Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçaların��n uzunlukları birbirine eşittir.

3

OAB

üçgeninin kenar uzunluklarını ifade etme

|OA| = |OK| - |AK| = 12 - |AT|

ve

|OB| = |OL| - |BL| = 12 - |BT|

yazılır. Üçgenin hipotenüsü ise

|AB| = |AT| + |BT|

'dir.

Üçgenin dik kenarları, teğet uzunluklarının tamamından dışarıda kalan teğet parçalarının çıkarılmasıyla elde edilir.

4

Çevre uzunluğunu hesaplama

Çevre

(OAB) = |OA| + |OB| + |AB| = (12 - |AT|) + (12 - |BT|) + (|AT| + |BT|) = 24\text{ cm}

bulunur.

Kenar uzunlukları toplandığında

|AT|

ve

|BT|

terimleri birbirini sadeleştirir ve geriye sadece teğet uzunluklarının toplamı kalır.

Key Concept

Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunluklarının eşit olması özelliği.

Hints

1

Çemberin dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunluklarının eşit olduğunu hatırlayınız.

2

Açının kolları üzerindeki teğet noktalarına

K

ve

L

diyerek

|AK| = |AT|

ve

|BL| = |BT|

eşitliklerini yazınız.

3

|OA| = 12 - |AT|

ve

|OB| = 12 - |BT|

yazıp bu ifadeleri üçgenin çevre formülünde yerlerine yerleştirerek sadeleştirme yapınız.

Practice More

Aynı çemberde dik açı yerine 60 derecelik bir açı kullanılsaydı çevre ve teğet uzunlukları nasıl değişirdi?

Alternative Method

T noktasını çember üzerinde hareket ettirdiğimizi düşünebiliriz. Limit durumunda T noktası K veya L noktasına yaklaştıkça dik üçgenin bir köşesi teğet noktasına doğru kayar. T noktası K noktası üzerine geldiğinde A noktası K ile çakışır ve

|OA| = 12

,

|OB| = 12

,

|AB| = 0

olur. Bu uç durumda da çevre toplamı

12 + 12 + 0 = 24\text{ cm}

olarak korunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 10Question →

Bir otomobilin arka cam sileceği, sabit bir $O$ noktası etrafında dönebilmektedir. Sileceğin üzerindeki temizleyici şerit, dönme merkezine $10\text{ cm}$ ve $30\text{ cm}$ uzaklıktaki noktalar arasında yer almaktadır. Silecek çalıştırıldığında kol $120^\circ$ lik bir açı ile dönmektedir. Buna göre, temizleyici şeridin dış ucunun aldığı yol, iç ucunun aldığı yoldan kaç $\text{cm}$ fazladır? ( $\pi = 3$ alınız.)

40

60

80

120

800

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

Temel yay uzunluğu formülü kullanılarak dış ucun aldığı yoldan iç ucun aldığı yol çıkarıldığında sonuç 40 cm olarak bulunur.

Temizleyici şeridin dış ucu

30\text{ cm}

yarıçaplı, iç ucu ise

10\text{ cm}

yarıçaplı çember yayları çizer. Her iki yayın merkez açısı

120^\circ

olduğundan, alınan yollar sırasıyla

60\text{ cm}

ve

20\text{ cm}

olarak hesaplanır. Aradaki fark

40\text{ cm}

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Dış ucun aldığı yolu (dış yayın uzunluğunu) hesaplayınız.

L_{\text{dış}} = 2 \cdot \pi \cdot R \cdot \frac{\theta}{360^\circ} = 2 \cdot 3 \cdot 30 \cdot \frac{120^\circ}{360^\circ} = 60\text{ cm}

Dış uç, dönme merkezine

30\text{ cm}

uzaklıkta

120^\circ

lik bir yay çizmektedir.

2

İç ucun aldığı yolu (iç yayın uzunluğunu) hesaplayınız.

L_{\text{iç}} = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\theta}{360^\circ} = 2 \cdot 3 \cdot 10 \cdot \frac{120^\circ}{360^\circ} = 20\text{ cm}

İç uç, dönme merkezine

10\text{ cm}

uzaklıkta

120^\circ

lik bir yay çizmektedir.

3

Dış ve iç uçların aldıkları yolların farkını bulunuz.

60\text{ cm} - 20\text{ cm} = 40\text{ cm}

Soruda dış ucun aldığı yolun iç ucun aldığı yoldan kaç cm fazla olduğu sorulmaktadır.

Key Concept

Çember yayı uzunluğu, yarıçap ve merkez açının ölçüsü kullanılarak

2\pi r \frac{\theta}{360^\circ}

formülüyle hesaplanır.

Question 11Question →

Bir kenar uzunluğu $6\text{ cm}$ olan bir eşkenar üçgenin her bir köşesi merkez kabul edilerek $3\text{ cm}$ yarıçaplı üç daire dilimi çizilmiştir. Bu daire dilimleri üçgenin iç bölgesinde kalmaktadır. Buna göre, üçgenin içinde olup bu daire dilimlerinin dışında kalan bölgenin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

9\sqrt{3} - 9\pi

9\sqrt{3} - 3\pi

9\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}

18\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}

9\sqrt{3} - \frac{3\pi}{2}

Show answer & explanation

Answer: $9\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}$

Answer

9\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}

Doğru cevap olan

9\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}

seçeneği, bir kenarı

6\text{ cm}

olan eşkenar üçgenin alanından (

9\sqrt{3}\text{ cm}^2

), köşelerde yer alan ve toplamları

180^\circ

(yarım daire) eden

3\text{ cm}

yarıçaplı üç daire diliminin alanının (

\frac{9\pi}{2}\text{ cm}^2

) çıkarılmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Eşkenar üçgenin alanını hesaplayalım.

A(\text{Üçgen}) = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2

İstenen bölgenin alanını bulmak için öncelikle tüm üçgenin alanını bilmemiz gerekir.

2

Köşelerdeki daire dilimlerinin alanları toplamını bulalım.

Eşkenar üçgenin iç açıları

60^\circ

olduğundan, her bir köşedeki dilim

60^\circ

'liktir. 3 adet dilim olduğu için toplam merkez açı

3 \times 60^\circ = 180^\circ

olur. Bu da yarıçapı

3\text{ cm}

olan bir yarım daireye karşılık gelir. Yarım dairenin alanı:

\frac{1}{2} \times \pi \times r^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times 3^2 = \frac{9\pi}{2}\text{ cm}^2

bulunur.

Üçgenin köşelerinden çıkarılacak dairesel bölgelerin toplam alanını hesaplamak için daire dilimi alanı veya yarım daire alanı formülü uygulanır.

3

Üçgenin alanından daire dilimlerinin alanları toplamını çıkararak taralı bölgenin alanını bulalım.

Taralı Alan =

9\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}\text{ cm}^2

Aranan bölgenin alanı, tüm üçgen alanından köşelerdeki daire dilimlerinin toplam alanının çıkarılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Eşkenar üçgen alanı ve daire dilimlerinin alanları toplamının dairede alan uygulamalarında kullanılması

Question 12Question →

Bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi çizilmiştir. $A$ açısının açıortayı, $[BC]$ kenarını $D$ noktasında, çevrel çemberi ise $E$ noktasında kesmektedir.

$|AB| = 6\text{ cm}$ , $|AC| = 8\text{ cm}$ ve $|AD| = 4\text{ cm}$ olduğuna göre, $|DE|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

4

5

6

8

12

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

İstenen uzunluk 8 santimetredir.

Çemberde aynı yayı gören çevre açıların eşitliği ilkesine dayanarak

\triangle ABD

ile

\triangle AEC

üçgenlerinin benzer olduğu görülür. Benzerlik oranından

|AE| = 12\text{ cm}

olarak hesaplanır.

[AE]

uzunluğundan

[AD]

uzunluğu çıkarıldığında

|DE| = 8\text{ cm}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Çevre açıların eşitliğini belirleme

m(\angle ABD) = m(\angle AEC)

Aynı yayı (

AC

yayını) gören çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir.

2

Açıortay özelliğini yazma

m(\angle BAD) = m(\angle EAC)

[AE]

doğrusu

A

açısının açıortayı olduğu için açıyı iki eş parçaya böler.

3

Üçgenler arasındaki benzerliği kurma

\triangle ABD \sim \triangle AEC

(Açı-Açı benzerliği)

İkişer açıları eşit olan üçgenler benzerdir.

4

Benzerlik oranını yazarak

|AE|

uzunluğunu bulma

|AE| = 12\text{ cm}

Benzerlikten

\frac{|AB|}{|AE|} = \frac{|AD|}{|AC|}

yazılır. Buradan

\frac{6}{|AE|} = \frac{4}{8} \implies 4 \cdot |AE| = 48 \implies |AE| = 12\text{ cm}

elde edilir.

5

|DE|

uzunluğunu hesaplama

|DE| = 8\text{ cm}

A

,

D

ve

E

noktaları doğrusal olduğundan

|AE| = |AD| + |DE|

yazılır.

12 = 4 + |DE| \implies |DE| = 8\text{ cm}

bulunur.

Key Concept

Çemberde benzerlik bağıntıları kurulurken aynı yayı gören çevre açıların eşitliği kullanılarak benzer üçgenler elde edilir.

Hints

1

Aynı yayı gören çevre açıların ölçülerinin eşit olduğunu hatırlayın.

2

\triangle ABD

ve

\triangle AEC

üçgenlerinin açılarını karşılaştırarak benzer olup olmadıklarını kontrol edin.

3

Benzerlikten

\frac{|AB|}{|AE|} = \frac{|AD|}{|AC|}

eşitliğini kullanarak önce

|AE|

uzunluğunu bulun.

Estimated Time:1m 30s

Question 13Question →

Kenar uzunlukları $6\text{ cm}$ ve $8\text{ cm}$ olan $ABCD$ dikdörtgeninin dışından, bu dikdörtgene teğet olacak şekilde yerleştirilen $1\text{ cm}$ yarıçaplı bir çember, dikdörtgenin çevresi boyunca kaymadan dönerek tam bir tur atıyor. Buna göre, çemberin merkezinin bu tur boyunca aldığı toplam yol kaç $\text{cm}$ 'dir?

28 + \pi

28 + \frac{\pi}{2}

28 + 2\pi

28 + 4\pi

14 + 2\pi

Show answer & explanation

Answer: $28 + 2\pi$

Answer

Toplam alınan yol

28 + 2\pi\text{ cm}

'dir.

Doğru seçenekte belirtilen

28 + 2\pi

değeri, dikdörtgenin çevre uzunluğu (

28\text{ cm}

) ile çemberin 4 köşede yaptığı dönüşlerden elde edilen 4 adet çeyrek çember yayının uzunluğunun (

2\pi\text{ cm}

) toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1

Dikdörtgenin kenarları boyunca çemberin merkezinin aldığı doğrusal yolu hesaplayın.

2 \times 6 + 2 \times 8 = 28\text{ cm}

Çember dikdörtgenin kenarları boyunca ilerlerken, merkezinin aldığı doğrusal yol dikdörtgenin çevre uzunluğuna eşit olur.

2

Çemberin dikdörtgenin köşelerinden dönerken merkezinin aldığı dairesel yolları hesaplayın.

4 \times \left(\frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 1\right) = 2\pi\text{ cm}

Her bir köşede çemberin merkezi, köşeyi merkez kabul eden

90^\circ

'lik bir çeyrek yay çizer. 4 köşe olduğu için toplamda 1 tam çember çevresi kadar yol alınır.

3

Doğrusal ve dairesel yolları toplayarak toplam yolu bulun.

28 + 2\pi\text{ cm}

Toplam yol, doğrusal ilerleme mesafesi ile köşe dönüşlerindeki yay uzunluklarının toplamıdır.

Key Concept

Bir çemberin bir çokgen etrafında dönmesiyle merkezinin aldığı yol, çokgenin çevresi ile köşelerdeki dönüş yaylarının toplamına eşittir.

Question 14Question →

Bir duvar saatinin sarkacı, $12\text{ cm}$ uzunluğundaki bir kolun ucuna bağlıdır. Sarkaç hareket ederken, kol düşey doğrultuyla her iki yönde en fazla $30^\circ$ lik açı yapmaktadır. Buna göre, sarkacın ucundaki ağırlığın bir tam salınım (bir uçtan diğer uca gidip tekrar ilk konumuna dönme) hareketi boyunca aldığı toplam yol kaç $\pi\text{ cm}$ 'dir?

4

6

8

12

24

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Sarkacın ucundaki ağırlığın bir tam salınım boyunca aldığı toplam yol

8\pi\text{ cm}

'dir.

Sarkaç düşey doğrultudan her iki yöne en fazla

30^\circ

saptığı için, sarkaç kolunun bir uçtan diğer uca hareketi toplamda

60^\circ

lik bir merkez açı oluşturur. Yarıçapı

12\text{ cm}

olan bu daire diliminin yay uzunluğu

2\pi \cdot 12 \cdot \frac{60}{360} = 4\pi\text{ cm}

olarak hesaplanır. Bir tam salınım hareketi gidiş ve dönüşten oluştuğu için sarkacın aldığı toplam yol bu değerin iki katı olan

8\pi\text{ cm}

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Sarkacın bir uçtan diğer uca giderken taradığı toplam merkez açıyı bulalım.

Sarkaç düşey doğrultunun her iki yönünde

30^\circ

hareket ettiği için toplam açı

30^\circ + 30^\circ = 60^\circ

olur.

Sarkacın hareket yönü boyunca taradığı yayın merkez açısını belirlemek gerekir.

2

Sarkacın tek yönlü hareketi (gidiş) boyunca aldığı yay uzunluğunu hesaplayalım.

Yay uzunluğu =

2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360} = 2\pi \cdot 12 \cdot \frac{60}{360} = 4\pi\text{ cm}

'dir.

Yarıçapı

12\text{ cm}

ve merkez açısı

60^\circ

olan çember yayının uzunluğunu bulmak için yay uzunluğu formülü uygulanır.

3

Bir tam salınım (gidiş ve dönüş) boyunca alınan toplam yolu bulalım.

Toplam yol =

2 \times 4\pi = 8\pi\text{ cm}

'dir.

Bir tam salınım hareketi, sarkacın bir uçtan diğer uca gitmesini ve ardından başlangıç konumuna geri dönmesini içerdiği için tek yönlü yol ikiyle çarpılır.

Key Concept

Daire diliminin yay uzunluğu formülü yardımıyla salınım yapan bir sarkacın aldığı yolun hesaplanması.

Question 15Question →

Yarıçapı $24\text{ cm}$ olan sabit bir dairesel pistin iç kısmında, yarıçapı $6\text{ cm}$ olan başka bir çember kaymadan dönerek ilerlemektedir. Küçük çember, büyük çemberin iç duvarı boyunca tam bir tur (büyük çember etrafında tam bir dolanım) yapıp başladığı noktaya geri döndüğünde, kendi merkezi etrafında kaç tam devir yapmış olur?

3

4

5

8

16

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Küçük çember kendi merkezi etrafında 3 tam devir yapmış olur.

Küçük çember büyük çemberin içerisinde kaymadan ilerlediğinde, küçük çemberin merkezinin aldığı yol yarıçapı

18\text{ cm}

olan bir çember oluşturur. Bu yolun uzunluğu olan

36\pi\text{ cm}

değeri, küçük çemberin kendi çevre uzunluğu olan

12\pi\text{ cm}

değerine bölündüğünde 3 tam devir yaptığı bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Küçük çemberin merkezisinin izlediği dairesel yolun yarıçapını belirlemek.

Yolun yarıçapı:

R_{\text{yol}} = R - r = 24 - 6 = 18\text{ cm}

Küçük çember büyük çemberin iç kısmında teğet olarak dolandığı için, küçük çemberin merkezinin büyük çemberin merkezine olan uzaklığı iki yarıçapın farkı kadar olur.

2

Küçük çemberin merkezinin aldığı toplam yolu (izlediği yörüngenin çevre uzunlu��unu) hesaplamak.

Yörünge çevresi:

C_{\text{yol}} = 2 \cdot \pi \cdot R_{\text{yol}} = 2 \cdot \pi \cdot 18 = 36\pi\text{ cm}

Dönme hareketi sırasında alınan toplam yol, küçük çemberin merkezinin çizdiği çemberin çevresine eşittir.

3

Küçük çemberin kendi çevre uzunluğunu hesaplamak.

Küçük çemberin çevresi:

C_{\text{küçük}} = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot 6 = 12\pi\text{ cm}

Bir tam devirde çemberin kendi çevresi kadar yol alacağını bilerek bu değeri bölen olarak kullanacağız.

4

Toplam devir sayısını bulmak için merkez yolunun uzunluğunu küçük çemberin çevresine bölmek.

Devir sayısı:

\text{Devir} = \frac{C_{\text{yol}}}{C_{\text{küçük}}} = \frac{36\pi}{12\pi} = 3

Toplam alınan yolun, bir devirde alınan yola oranı toplam devir sayısını verir.

Key Concept

Çemberin içte dönme hareketinde merkezinin aldığı yol ve devir sayısı ilişkisi.

Hints

1

Küçük çember dönerken, onun merkez noktasının çizdiği yörüngeyi düşünün. Bu yörüngenin yarıçapı kaç

\text{cm}

'dir?

2

Küçük çemberin merkezinin çizdiği yörüngenin yarıçapı, büyük çemberin yarıçapı ile küçük çemberin yarıçapının farkına eşittir (

24 - 6 = 18\text{ cm}

).

3

Merkezin aldığı yolu (

2 \cdot \pi \cdot 18

) küçük çemberin kendi çevresine (

2 \cdot \pi \cdot 6

) bölerek toplam devir sayısını bulun.

Practice More

Benzer şekilde, küçük çember büyük çemberin dış çeperi boyunca dönerek ilerleseydi devir sayısının nasıl değişeceğini hesaplayabilirsiniz.

Alternative Method

Dönme hareketlerinde genel formül kullanılabilir: İçten dönme durumunda devir sayısı

N = \frac{R - r}{r}

formülü ile hesaplanır. Buradan

N = \frac{24 - 6}{6} = 3

bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Çember ve Daire

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method