Examkin

Çemberin Çevresi ve Yay Uzunluğu

8 questions

Question 1Question →

Yarıçapı 6 cm6\text{ cm} olan O merkezli bir çemberde, ölçüsü 60∘60^\circ olan merkez açının gördüğü yayın uzunluğu kaç cm\text{cm}'dir? (π=3\pi = 3 alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6
Yayın uzunluğu, tüm çemberin çevresi olan 36 cm36\text{ cm}'nin 60∘/360∘=1/660^\circ/360^\circ = 1/6'sına eşittir. Dolayısıyla doğru yanıt 6 cm6\text{ cm} olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Çemberin tüm çevresini hesaplamak için 2πr2\pi r formül��nü kullanırız.
Çevre = 2×3×6=36 cm2 \times 3 \times 6 = 36\text{ cm}
Belirli bir açılık yayın uzunluğunu hesaplamak için öncelikle tüm çevre uzunluğunu bulmamız gerekir.
2
60∘60^\circ lik merkez açının gördüğü yay uzunluğunu bulmak için tüm çevreyi 60∘360∘\frac{60^\circ}{360^\circ} oranı ile çarparız.
Yay uzunluğu = 36×60360=36×16=6 cm36 \times \frac{60}{360} = 36 \times \frac{1}{6} = 6\text{ cm}
60∘60^\circ lik merkez açının gördüğü yay, tüm çemberin (360∘360^\circ) altıda birine denk gelmektedir.

Key Concept

Çemberde yay uzunluğu formülü: L=2πr⋅θ360∘L = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ}
Question 2Question →

Bir dairesel yürüyüş yolunun yarıçapı 15 metre15\text{ metre} olarak belirlenmiştir. Bu yolda yürüyüşe başlayan bir sporcu, merkez açısı 72∘72^\circ olan bir yay boyunca yürüdüğünde toplam kaç π metre\pi\text{ metre} yol almış olur?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Sporcu yürüy��şü boyunca 6π6\pi metre yol almıştır.
Doğru cevap olan 66 değeri, yarıçapı 15 m15\text{ m} ve merkez açısı 72∘72^\circ olan çember yayının uzunluk formülü olan 2πr⋅α360∘2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} kullanılarak elde edilir. Bu formülden 2π⋅15⋅72360=6π2\pi \cdot 15 \cdot \frac{72}{360} = 6\pi bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Çemberin yay uzunluğu formülünü belirleme.
L=2πr⋅α360∘L = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}
Merkez açının gördüğü yayın uzunluğunu bulmak için çemberin çevre formülü ile merkez açının tüm açısına (360∘360^\circ) oranı çarpılır.
2
Verilen değerleri formülde yerine yazarak hesaplama yapma.
L=2π⋅15⋅72360=30π⋅15=6π metreL = 2\pi \cdot 15 \cdot \frac{72}{360} = 30\pi \cdot \frac{1}{5} = 6\pi\text{ metre}
Yarıçap r=15 mr = 15\text{ m} ve merkez açı α=72∘\alpha = 72^\circ değerleri kullanılarak yay uzunluğu hesaplanır.

Key Concept

Bir çemberde merkez açının gördüğü yay uzunluğunun hesaplanması.
Estimated Time:45s
Question 3Question →

OO merkezli ve RR yarıçaplı çeyrek daire dilimi şeklindeki bir ahşap levhanın içerisine; levhanın dik yarıçap kenarlar��na ve çeyrek çember yayına teğet olacak biçimde yerleştirilebilecek en büyük çemberin yarıçapı rr'dir. Buna göre, içteki çemberin çevre uzunluğunun levhanın çeyrek yay uzunluğuna oranı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 42−44\sqrt{2} - 4

Answer

İçteki çemberin çevre uzunluğunun levhanın çeyrek yay uzunluğuna oranı 42−44\sqrt{2} - 4 olmalıdır.
Doğru cevap olan ifade, çeyrek dairenin yarıçapı ile içteki çemberin yarıçapı arasındaki geometrik ilişkiden elde edilen orandır. Köşegen uzunluğu r2r\sqrt{2} olan karenin köşesine rr kadar yarıçap eklendiğinde çeyrek dairenin yarıçapı R=r(2+1)R = r(\sqrt{2} + 1) olur. Çevrelerin oranı hesaplandığında 42−44\sqrt{2} - 4 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Çeyrek dairenin merkezini OO, içteki çemberin merkezini MM ve teğet noktalarını [OA][OA] üzerinde T1T_1, [OB][OB] üzerinde T2T_2 olarak belirleyip OT1MT2OT_1MT_2 karesini oluşturmak.
Bir kenarı rr olan OT1MT2OT_1MT_2 karesi elde edilir.
İçteki çemberin yarıçapı ile çeyrek dairenin dik kenarları arasındaki geometrik ilişkiyi kurmak.
2
Karenin köşegeni olan [OM][OM] uzunluğunu Pisagor bağıntısı yardımıyla hesaplamak.
OM=r2OM = r\sqrt{2} olarak bulunur.
Merkezler arasındaki uzaklığı yarıçap cinsinden ifade etmek.
3
İçteki çemberin dış yaya teğet olduğu noktayı PP olarak adlandırıp, OO, MM ve PP noktalarının doğrusallığını kullanarak çeyrek dairenin yarıçapı RR'yi rr cinsinden yazmak.
OP=R=OM+MP=r2+r=r(2+1)OP = R = OM + MP = r\sqrt{2} + r = r(\sqrt{2} + 1) denklemi elde edilir.
İki dairenin yarıçapları arasındaki bağıntıyı kurmak.
4
İçteki çemberin çevre uzunluğunu (C\c1=2πrÇ_1 = 2\pi r) ve çeyrek dairenin yay uzunluğunu (Yay=2πR4=πR2Yay = \frac{2\pi R}{4} = \frac{\pi R}{2}) formüllerini yazıp oranlamak.
Oran =2πrπR2=4rR=4rr(2+1)=42+1= \frac{2\pi r}{\frac{\pi R}{2}} = \frac{4r}{R} = \frac{4r}{r(\sqrt{2} + 1)} = \frac{4}{\sqrt{2} + 1} bulunur.
İstenen çevre uzunlukları oranını bulmak.
5
Elde edilen oranı paydanın eşleniği (2−1\sqrt{2} - 1) ile çarparak rasyonel hale getirmek.
4(2−1)2−1=42−4\frac{4(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 4\sqrt{2} - 4 bulunur.
Sonucu en sade ve seçeneklerdeki biçimiyle elde etmek.

Key Concept

Bir çemberin çevresi 2πr2\pi r ve bir daire diliminin yay uzunluğu α360⋅2πR\frac{\alpha}{360} \cdot 2\pi R formülüyle hesaplanır. İki geometrik şekil arasındaki teğetlik durumunda merkezlerin birleştirilmesiyle elde edilen doğrusal hatlar yarıçap ilişkisini kurmamızı sağlar.
Question 4Question →

Bir saat kadranında, yelkovanın uzunluğu akrebin uzunluğunun 22 katıdır. Saat 12.0012.00'den 12.3012.30'a kadar geçen sürede, yelkovanın ucunun aldığı yol akrebin ucunun aldığı yolun kaç katıdır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Yelkovanın ucunun aldığı yol, akrebin ucunun aldığı yolun 24 katıdır.
Yelkovanın uzunluğu 2r2r, akrebin uzunluğu rr olsun. 30 dakikalık sürede yelkovan 180∘180^\circ (yarım tur) dönerek 2π(2r)×180360=2πr2\pi(2r) \times \frac{180}{360} = 2\pi r kadar yol alır. Aynı sürede akrep 15∘15^\circ dönerek 2πr×15360=πr122\pi r \times \frac{15}{360} = \frac{\pi r}{12} kadar yol alır. Yelkovanın aldığı yol akrebin aldığı yolun 2πrπr12=24\frac{2\pi r}{\frac{\pi r}{12}} = 24 katıdır.

Step-by-Step Solution

1
Akrebin ve yelkovanın yarıçap (uzunluk) ilişkisini belirleyelim.
Akrebin uzunluğu rr ise yelkovanın uzunluğu 2r2r olur.
Soruda yelkovanın uzunluğunun akrebin uzunluğunun 2 katı olduğu verilmiştir.
2
12.00 ile 12.30 aras��ndaki 30 dakikalık sürede akrep ve yelkovanın taradığı merkez açıları bulalım.
Yelkovan 180∘180^\circ, akrep ise 15∘15^\circ döner.
Yelkovan 60 dakikada tam tur (360∘360^\circ) dönerken 30 dakikada yarım tur (180∘180^\circ) döner. Akrep ise 12 saatte (720720 dakikada) 360∘360^\circ dönerken 30 dakikada 30720×360∘=15∘\frac{30}{720} \times 360^\circ = 15^\circ d��ner.
3
Her iki ibrenin uç noktasının aldığı yay uzunluğunu (yolu) hesaplayalım.
Yelkovanın aldığı yol: 2π(2r)×180360=2πr2\pi(2r) \times \frac{180}{360} = 2\pi r. Akrebin aldığı yol: 2πr×15360=πr122\pi r \times \frac{15}{360} = \frac{\pi r}{12}.
Merkez açısı α\alpha olan bir çember yayının uzunluğu 2πr×α3602\pi r \times \frac{\alpha}{360} formülüyle bulunur.
4
Yelkovanın ucunun aldığı yolun akrebin ucunun aldığı yola oranını bulalım.
2πrπr12=24\frac{2\pi r}{\frac{\pi r}{12}} = 24.
Yelkovanın aldığı yolu akrebin aldığı yola bölerek kat ilişkisini buluruz.

Key Concept

Çemberde yay uzunluğu formülü (2πr×α3602\pi r \times \frac{\alpha}{360}) ve saat kadranı üzerinde zaman-açı ilişkisinin belirlenmesi.

Hints

1
Akrep ve yelkovanın uzunluklarını sırasıyla rr ve 2r2r olarak belirleyin.
2
30 dakikada yelkovanın yarım tur (180∘180^\circ) döndüğünü, akrebin ise bir saatte 30∘30^\circ döndüğü bilgisinden yararlanarak yarım saatte kaç derece döndüğünü bulun.
3
Yelkovan için yarıçapı 2r2r ve açıyı 180∘180^\circ, akrep için yarıçapı rr ve açıyı 15∘15^\circ alarak 2πR×α3602\pi R \times \frac{\alpha}{360} formülüyle yolları hesaplayıp oranlayın.

Practice More

Aynı ibrelerin 12.00'den 12.20'ye kadar geçen sürede uçlarının aldığı yolların oranını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Dairesel hareketlerde çizgisel hız formülü v=ω⋅Rv = \omega \cdot R kullanılabilir. Yelkovanın açısal hızı akrebin açısal hızının 12 katıdır (aynı sürede 12 kat daha fazla açı tarar). Yelkovanın yarıçapı da akrebin yarıçapının 2 katı olduğuna göre, çizgisel hızları (ve dolayısıyla aynı sürede aldıkları yolların) oranı 12×2=2412 \times 2 = 24 olur.
Estimated Time:1m 30s
Question 5Question →

Bir otomobilin arka cam sileceği, sabit bir OO noktası etrafında dönebilmektedir. Sileceğin üzerindeki temizleyici şerit, dönme merkezine 10 cm10\text{ cm} ve 30 cm30\text{ cm} uzaklıktaki noktalar arasında yer almaktadır. Silecek çalıştırıldığında kol 120∘120^\circ lik bir açı ile dönmektedir. Buna göre, temizleyici şeridin dış ucunun aldığı yol, iç ucunun aldığı yoldan kaç cm\text{cm} fazladır? (π=3\pi = 3 alınız.)

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

Temel yay uzunluğu formülü kullanılarak dış ucun aldığı yoldan iç ucun aldığı yol çıkarıldığında sonuç 40 cm olarak bulunur.
Temizleyici şeridin dış ucu 30 cm30\text{ cm} yarıçaplı, iç ucu ise 10 cm10\text{ cm} yarıçaplı çember yayları çizer. Her iki yayın merkez açısı 120∘120^\circ olduğundan, alınan yollar sırasıyla 60 cm60\text{ cm} ve 20 cm20\text{ cm} olarak hesaplanır. Aradaki fark 40 cm40\text{ cm}'dir.

Step-by-Step Solution

1
Dış ucun aldığı yolu (dış yayın uzunluğunu) hesaplayınız.
Ldıs¸=2⋅π⋅R⋅θ360∘=2⋅3⋅30⋅120∘360∘=60 cmL_{\text{dış}} = 2 \cdot \pi \cdot R \cdot \frac{\theta}{360^\circ} = 2 \cdot 3 \cdot 30 \cdot \frac{120^\circ}{360^\circ} = 60\text{ cm}
Dış uç, dönme merkezine 30 cm30\text{ cm} uzaklıkta 120∘120^\circ lik bir yay çizmektedir.
2
İç ucun aldığı yolu (iç yayın uzunluğunu) hesaplayınız.
Lic¸=2⋅π⋅r⋅θ360∘=2⋅3⋅10⋅120∘360∘=20 cmL_{\text{iç}} = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\theta}{360^\circ} = 2 \cdot 3 \cdot 10 \cdot \frac{120^\circ}{360^\circ} = 20\text{ cm}
İç uç, dönme merkezine 10 cm10\text{ cm} uzaklıkta 120∘120^\circ lik bir yay çizmektedir.
3
Dış ve iç uçların aldıkları yolların farkını bulunuz.
60 cm−20 cm=40 cm60\text{ cm} - 20\text{ cm} = 40\text{ cm}
Soruda dış ucun aldığı yolun iç ucun aldığı yoldan kaç cm fazla olduğu sorulmaktadır.

Key Concept

Çember yayı uzunluğu, yarıçap ve merkez açının ölçüsü kullanılarak 2πrθ360∘2\pi r \frac{\theta}{360^\circ} formülüyle hesaplanır.
Question 6Question →

Kenar uzunlukları 6 cm6\text{ cm} ve 8 cm8\text{ cm} olan ABCDABCD dikdörtgeninin dışından, bu dikdörtgene teğet olacak şekilde yerleştirilen 1 cm1\text{ cm} yarıçaplı bir çember, dikdörtgenin çevresi boyunca kaymadan dönerek tam bir tur atıyor. Buna göre, çemberin merkezinin bu tur boyunca aldığı toplam yol kaç cm\text{cm}'dir?

Show answer & explanation

Answer: 28+2π28 + 2\pi

Answer

Toplam alınan yol 28+2π cm28 + 2\pi\text{ cm}'dir.
Doğru seçenekte belirtilen 28+2π28 + 2\pi değeri, dikdörtgenin çevre uzunluğu (28 cm28\text{ cm}) ile çemberin 4 köşede yaptığı dönüşlerden elde edilen 4 adet çeyrek çember yayının uzunluğunun (2π cm2\pi\text{ cm}) toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1
Dikdörtgenin kenarları boyunca çemberin merkezinin aldığı doğrusal yolu hesaplayın.
2×6+2×8=28 cm2 \times 6 + 2 \times 8 = 28\text{ cm}
Çember dikdörtgenin kenarları boyunca ilerlerken, merkezinin aldığı doğrusal yol dikdörtgenin çevre uzunluğuna eşit olur.
2
Çemberin dikdörtgenin köşelerinden dönerken merkezinin aldığı dairesel yolları hesaplayın.
4×(90∘360∘×2π×1)=2π cm4 \times \left(\frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 1\right) = 2\pi\text{ cm}
Her bir köşede çemberin merkezi, köşeyi merkez kabul eden 90∘90^\circ'lik bir çeyrek yay çizer. 4 köşe olduğu için toplamda 1 tam çember çevresi kadar yol alınır.
3
Doğrusal ve dairesel yolları toplayarak toplam yolu bulun.
28+2π cm28 + 2\pi\text{ cm}
Toplam yol, doğrusal ilerleme mesafesi ile köşe dönüşlerindeki yay uzunluklarının toplamıdır.

Key Concept

Bir çemberin bir çokgen etrafında dönmesiyle merkezinin aldığı yol, çokgenin çevresi ile köşelerdeki dönüş yaylarının toplamına eşittir.
Question 7Question →

Bir duvar saatinin sarkacı, 12 cm12\text{ cm} uzunluğundaki bir kolun ucuna bağlıdır. Sarkaç hareket ederken, kol düşey doğrultuyla her iki yönde en fazla 30∘30^\circ lik açı yapmaktadır. Buna göre, sarkacın ucundaki ağırlığın bir tam salınım (bir uçtan diğer uca gidip tekrar ilk konumuna dönme) hareketi boyunca aldığı toplam yol kaç π cm\pi\text{ cm}'dir?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Sarkacın ucundaki ağırlığın bir tam salınım boyunca aldığı toplam yol 8π cm8\pi\text{ cm}'dir.
Sarkaç düşey doğrultudan her iki yöne en fazla 30∘30^\circ saptığı için, sarkaç kolunun bir uçtan diğer uca hareketi toplamda 60∘60^\circ lik bir merkez açı oluşturur. Yarıçapı 12 cm12\text{ cm} olan bu daire diliminin yay uzunluğu 2π⋅12⋅60360=4π cm2\pi \cdot 12 \cdot \frac{60}{360} = 4\pi\text{ cm} olarak hesaplanır. Bir tam salınım hareketi gidiş ve dönüşten oluştuğu için sarkacın aldığı toplam yol bu değerin iki katı olan 8π cm8\pi\text{ cm}'dir.

Step-by-Step Solution

1
Sarkacın bir uçtan diğer uca giderken taradığı toplam merkez açıyı bulalım.
Sarkaç düşey doğrultunun her iki yönünde 30∘30^\circ hareket ettiği için toplam açı 30∘+30∘=60∘30^\circ + 30^\circ = 60^\circ olur.
Sarkacın hareket yönü boyunca taradığı yayın merkez açısını belirlemek gerekir.
2
Sarkacın tek yönlü hareketi (gidiş) boyunca aldığı yay uzunluğunu hesaplayalım.
Yay uzunluğu = 2πr⋅α360=2π⋅12⋅60360=4π cm2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360} = 2\pi \cdot 12 \cdot \frac{60}{360} = 4\pi\text{ cm}'dir.
Yarıçapı 12 cm12\text{ cm} ve merkez açısı 60∘60^\circ olan çember yayının uzunluğunu bulmak için yay uzunluğu formülü uygulanır.
3
Bir tam salınım (gidiş ve dönüş) boyunca alınan toplam yolu bulalım.
Toplam yol = 2×4π=8π cm2 \times 4\pi = 8\pi\text{ cm}'dir.
Bir tam salınım hareketi, sarkacın bir uçtan diğer uca gitmesini ve ardından başlangıç konumuna geri dönmesini içerdiği için tek yönlü yol ikiyle çarpılır.

Key Concept

Daire diliminin yay uzunluğu formülü yardımıyla salınım yapan bir sarkacın aldığı yolun hesaplanması.
Question 8Question →

Yarıçapı 24 cm24\text{ cm} olan sabit bir dairesel pistin iç kısmında, yarıçapı 6 cm6\text{ cm} olan başka bir çember kaymadan dönerek ilerlemektedir. Küçük çember, büyük çemberin iç duvarı boyunca tam bir tur (büyük çember etrafında tam bir dolanım) yapıp başladığı noktaya geri döndüğünde, kendi merkezi etrafında kaç tam devir yapmış olur?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Küçük çember kendi merkezi etrafında 3 tam devir yapmış olur.
Küçük çember büyük çemberin içerisinde kaymadan ilerlediğinde, küçük çemberin merkezinin aldığı yol yarıçapı 18 cm18\text{ cm} olan bir çember oluşturur. Bu yolun uzunluğu olan 36π cm36\pi\text{ cm} değeri, küçük çemberin kendi çevre uzunluğu olan 12π cm12\pi\text{ cm} değerine bölündüğünde 3 tam devir yaptığı bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Küçük çemberin merkezisinin izlediği dairesel yolun yarıçapını belirlemek.
Yolun yarıçapı: Ryol=R−r=24−6=18 cmR_{\text{yol}} = R - r = 24 - 6 = 18\text{ cm}
Küçük çember büyük çemberin iç kısmında teğet olarak dolandığı için, küçük çemberin merkezinin büyük çemberin merkezine olan uzaklığı iki yarıçapın farkı kadar olur.
2
Küçük çemberin merkezinin aldığı toplam yolu (izlediği yörüngenin çevre uzunlu��unu) hesaplamak.
Yörünge çevresi: Cyol=2⋅π⋅Ryol=2⋅π⋅18=36π cmC_{\text{yol}} = 2 \cdot \pi \cdot R_{\text{yol}} = 2 \cdot \pi \cdot 18 = 36\pi\text{ cm}
Dönme hareketi sırasında alınan toplam yol, küçük çemberin merkezinin çizdiği çemberin çevresine eşittir.
3
Küçük çemberin kendi çevre uzunluğunu hesaplamak.
Küçük çemberin çevresi: Cku¨c¸u¨k=2⋅π⋅r=2⋅π⋅6=12π cmC_{\text{küçük}} = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot 6 = 12\pi\text{ cm}
Bir tam devirde çemberin kendi çevresi kadar yol alacağını bilerek bu değeri bölen olarak kullanacağız.
4
Toplam devir sayısını bulmak için merkez yolunun uzunluğunu küçük çemberin çevresine bölmek.
Devir sayısı: Devir=CyolCku¨c¸u¨k=36π12π=3\text{Devir} = \frac{C_{\text{yol}}}{C_{\text{küçük}}} = \frac{36\pi}{12\pi} = 3
Toplam alınan yolun, bir devirde alınan yola oranı toplam devir sayısını verir.

Key Concept

Çemberin içte dönme hareketinde merkezinin aldığı yol ve devir sayısı ilişkisi.

Hints

1
Küçük çember dönerken, onun merkez noktasının çizdiği yörüngeyi düşünün. Bu yörüngenin yarıçapı kaç cm\text{cm}'dir?
2
Küçük çemberin merkezinin çizdiği yörüngenin yarıçapı, büyük çemberin yarıçapı ile küçük çemberin yarıçapının farkına eşittir (24−6=18 cm24 - 6 = 18\text{ cm}).
3
Merkezin aldığı yolu (2⋅π⋅182 \cdot \pi \cdot 18) küçük çemberin kendi çevresine (2⋅π⋅62 \cdot \pi \cdot 6) bölerek toplam devir sayısını bulun.

Practice More

Benzer şekilde, küçük çember büyük çemberin dış çeperi boyunca dönerek ilerleseydi devir sayısının nasıl değişeceğini hesaplayabilirsiniz.

Alternative Method

Dönme hareketlerinde genel formül kullanılabilir: İçten dönme durumunda devir sayısı N=R−rrN = \frac{R - r}{r} formülü ile hesaplanır. Buradan N=24−66=3N = \frac{24 - 6}{6} = 3 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Çemberin Çevresi ve Yay Uzunluğu Practice Questions — ALES | Examkin