Examkin

Question

Difficulty: MediumÇemberin Çevresi ve Yay Uzunluğu

Bir duvar saatinin sarkacı, 12 cm12\text{ cm} uzunluğundaki bir kolun ucuna bağlıdır. Sarkaç hareket ederken, kol düşey doğrultuyla her iki yönde en fazla 30∘30^\circ lik açı yapmaktadır. Buna göre, sarkacın ucundaki ağırlığın bir tam salınım (bir uçtan diğer uca gidip tekrar ilk konumuna dönme) hareketi boyunca aldığı toplam yol kaç π cm\pi\text{ cm}'dir?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Answer
  4. D
    12
  5. E
    24

Answer

Sarkacın ucundaki ağırlığın bir tam salınım boyunca aldığı toplam yol 8π cm8\pi\text{ cm}'dir.
Sarkaç düşey doğrultudan her iki yöne en fazla 30∘30^\circ saptığı için, sarkaç kolunun bir uçtan diğer uca hareketi toplamda 60∘60^\circ lik bir merkez açı oluşturur. Yarıçapı 12 cm12\text{ cm} olan bu daire diliminin yay uzunluğu 2π⋅12⋅60360=4π cm2\pi \cdot 12 \cdot \frac{60}{360} = 4\pi\text{ cm} olarak hesaplanır. Bir tam salınım hareketi gidiş ve dönüşten oluştuğu için sarkacın aldığı toplam yol bu değerin iki katı olan 8π cm8\pi\text{ cm}'dir.

Step-by-Step Solution

1
Sarkacın bir uçtan diğer uca giderken taradığı toplam merkez açıyı bulalım.
Sarkaç düşey doğrultunun her iki yönünde 30∘30^\circ hareket ettiği için toplam açı 30∘+30∘=60∘30^\circ + 30^\circ = 60^\circ olur.
Sarkacın hareket yönü boyunca taradığı yayın merkez açısını belirlemek gerekir.
2
Sarkacın tek yönlü hareketi (gidiş) boyunca aldığı yay uzunluğunu hesaplayalım.
Yay uzunluğu = 2πr⋅α360=2π⋅12⋅60360=4π cm2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360} = 2\pi \cdot 12 \cdot \frac{60}{360} = 4\pi\text{ cm}'dir.
Yarıçapı 12 cm12\text{ cm} ve merkez açısı 60∘60^\circ olan çember yayının uzunluğunu bulmak için yay uzunluğu formülü uygulanır.
3
Bir tam salınım (gidiş ve dönüş) boyunca alınan toplam yolu bulalım.
Toplam yol = 2×4π=8π cm2 \times 4\pi = 8\pi\text{ cm}'dir.
Bir tam salınım hareketi, sarkacın bir uçtan diğer uca gitmesini ve ardından başlangıç konumuna geri dönmesini içerdiği için tek yönlü yol ikiyle çarpılır.

Key Concept

Daire diliminin yay uzunluğu formülü yardımıyla salınım yapan bir sarkacın aldığı yolun hesaplanması.
Rate this question

Topics

Çemberin Çevresi ve Yay Uzunluğu

More questions from this topic