Examkin

Question

Difficulty: MediumÖzel Tanımlı İşlemler

Bir nn pozitif tam sayısı için S(n)S(n) işlemi, nn sayısının basamaklar��ndaki rakamların karelerinin toplamı olarak tanımlanıyor.

Örneğin;
S(24)=22+42=20S(24) = 2^2 + 4^2 = 20

Buna göre, S(S(x))=17S(S(x)) = 17 eşitliğini sağlayan iki basamaklı en küçük xx doğal sayısı hangisidir?

  1. A
    14
  2. B
    32
  3. C
    41
  4. 45Answer
  5. E
    54

Answer

45
45 sayısı için işlem iki kez uygulandığında; ilk adımda S(45)=42+52=41S(45) = 4^2 + 5^2 = 41 elde edilir. İkinci adımda S(41)=42+12=17S(41) = 4^2 + 1^2 = 17 bulunur. Bu sayede S(S(45))=17S(S(45)) = 17 koşulu sağlanır. Aynı koşulu sağlayan diğer iki basamaklı sayı 54'tür (S(S(54))=S(41)=17S(S(54)) = S(41) = 17). Bu iki sayı arasından en küçük olanı 45'tir.

Step-by-Step Solution

1
S(S(x))=17S(S(x)) = 17 denkleminde S(x)=yS(x) = y değişken dönüşümü yapılır.
S(y)=17S(y) = 17 eşitliğini sağlayan yy değerlerini bulma problemine indirgenir.
İki adımlı işlemi çözmek için içteki fonksiyonun sonucunu harflendirerek geriye doğru gitmek gerekir.
2
xx iki basamaklı bir doğal sayı olduğundan, y=S(x)y = S(x) değerinin alabileceği en büyük değer hesaplanır.
yy değeri en fazla 92+92=1629^2 + 9^2 = 162 olabilir. Dolayısıyla y≤162y \le 162 sınırlandırması elde edilir.
Bulunacak yy değerlerinin iki basamaklı bir sayının rakamları kareleri toplamı sınırını aşmaması gerekir.
3
Rakamlarının kareleri toplamı 17 olan ve 162'den küçük veya eşit olan yy sayıları belirlenir.
İki basamaklı yy sayıları için c2+d2=17  ⟹  y∈{14,41}c^2 + d^2 = 17 \implies y \in \{14, 41\} bulunur. Üç basamaklı yy sayıları için y≤162y \le 162 olduğundan ilk basamak 1 olmalıdır. 12+d2+e2=17  ⟹  d2+e2=16  ⟹  y∈{104,140}1^2 + d^2 + e^2 = 17 \implies d^2 + e^2 = 16 \implies y \in \{104, 140\} elde edilir. Böylece y∈{14,41,104,140}y \in \{14, 41, 104, 140\} olur.
Tanımlanan kurala göre S(y)=17S(y) = 17 koşulunu sağlayan tüm olası ara değerleri tespit etmek gerekir.
4
Her bir yy de��eri için S(x)=yS(x) = y denklemi çözülerek iki basamaklı x=abx = ab sayıları aranır.
a2+b2=14a^2 + b^2 = 14 için tam sayı çözümü yoktur. a2+b2=41  ⟹  a2+b2=42+52a^2 + b^2 = 41 \implies a^2 + b^2 = 4^2 + 5^2 olduğundan x∈{45,54}x \in \{45, 54\} bulunur. a2+b2=104a^2 + b^2 = 104 ve a2+b2=140a^2 + b^2 = 140 için rakamlar kümesinde çözüm yoktur.
S(x)S(x) işlemini sağlayan xx değerlerini tespit etmek için basamak kareleri toplamını kontrol ederiz.
5
Bulunan xx değerlerinden en küçüğü seçilir.
x∈{45,54}x \in \{45, 54\} kümesindeki en küçük eleman 45 olarak belirlenir.
Soruda iki basamaklı en küçük xx sayısı istendiği için 45 seçilir.

Key Concept

Özel tanımlı fonksiyonlarda ters işlem adımlarını ve basamak kısıtlarını kullanarak çözüm yapma

Hints

1
S(S(x))=17S(S(x)) = 17 ifadesinde önce içerideki S(x)S(x) değerini tek bir değişken (örneğin yy) gibi düşünerek S(y)=17S(y) = 17 denklemini çözün.
2
S(y)=17S(y) = 17 ise yy sayısının rakamlarının kareleri toplamı 17 olmalıdır. Bu koşulu sağlayan yy sayılarını ararken xx iki basamaklı olduğu için y=S(x)y = S(x) değerinin en fazla 92+92=1629^2 + 9^2 = 162 olabileceğini unutmayın.
3
yy değerleri 14, 41, 104 ve 140 olabilir. Buradan basamak kareleri toplamı bu sayılardan birine eşit olan iki basamaklı xx sayılarını bulup aralarından en küçük olanını seçin.

Practice More

Benzer kurallarla üç adımlı işlemler veya basamak sayısı farklı olan durumlar incelenebilir.

Alternative Method

Alternatif olarak, seçeneklerdeki sayıları doğrudan test edebilirsiniz. Örneğin; 45 sayısı için S(45)=16+25=41S(45) = 16 + 25 = 41 ve S(41)=16+1=17S(41) = 16 + 1 = 17 olduğundan eşitliğin sağlandığı doğrudan görülür. Diğer küçük seçenekler olan 14 ve 41 test edildiğinde sadece tek işlem adımında 17'ye ulaştıkları için elenirler.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic