Examkin

Question

Difficulty: MediumTemel Kavramlar

xx, yy ve zz birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.

xx bir asal sayı olmak üzere,
x⋅y+z=23x \cdot y + z = 23
x+y⋅z=37x + y \cdot z = 37
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?

  1. A
    16
  2. B
    18
  3. 22Answer
  4. D
    24
  5. E
    26

Answer

Doğru cevap 22'dir.
Denklemler taraf tarafa çıkarılıp düzenlendiğinde (y−1)(z−x)=14(y - 1)(z - x) = 14 bağıntısına ulaşılır. Değişkenlerin pozitif tam sayı ve xx'in asal sayı olması koşulunu sağlayan tek değer grubu x=3x=3, y=2y=2 ve z=17z=17 olup bu sayıların toplamı 22'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen iki denklemi yazıp taraf tarafa çıkaralım.
(x+y⋅z)−(x⋅y+z)=37−23  ⟹  y⋅z−x⋅y+x−z=14(x + y \cdot z) - (x \cdot y + z) = 37 - 23 \implies y \cdot z - x \cdot y + x - z = 14 elde edilir.
Değişkenler arasındaki ilişkiyi sadeleştirmek amacıyla iki denklem birbirinden çıkarılır.
2
Elde edilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyelim.
y(z−x)−(z−x)=14  ⟹  (y−1)(z−x)=14y(z - x) - (z - x) = 14 \implies (y - 1)(z - x) = 14 elde edilir.
İfadeyi tam sayı bölenleri üzerinden inceleyebilmek için çarpanlarına ayırırız.
3
Değişkenlerin pozitif tam sayı olma şartını göz önüne alarak çarpanları inceleyelim.
y≥1  ⟹  y−1≥0y \ge 1 \implies y - 1 \ge 0 olur. Çarpım 14 olduğundan y−1y - 1 sıfır olamaz. Dolayısıyla y−1>0y - 1 > 0 ve z−x>0z - x > 0 olmalıdır. 14'ün pozitif bölen çiftleri (1,14)(1, 14), (2,7)(2, 7), (7,2)(7, 2) ve (14,1)(14, 1) olarak belirlenir.
Tanım kümesine uygun olası durumları kısıtlamak için bölen analizi yapılır.
4
Olası durumları denklemlerde yerine koyarak xx'in asal sayı olma şartını kontrol edelim.
1. Durum: y−1=1  ⟹  y=2y - 1 = 1 \implies y = 2 ve z−x=14  ⟹  z=x+14z - x = 14 \implies z = x + 14 olur. İlk denklemde yerine yazıldığında: 2x+(x+14)=23  ⟹  3x=9  ⟹  x=32x + (x + 14) = 23 \implies 3x = 9 \implies x = 3 bulunur. Buradan z=17z = 17 elde edilir. (3,2,17)(3, 2, 17) üçlüsünde x=3x = 3 asal sayı olduğundan bu durum şartları sağlar. 2. Durum: y−1=2  ⟹  y=3y - 1 = 2 \implies y = 3 ve z−x=7  ⟹  z=x+7z - x = 7 \implies z = x + 7 olur. İlk denklemde yerine yazıldığında: 3x+(x+7)=23  ⟹  4x=16  ⟹  x=43x + (x + 7) = 23 \implies 4x = 16 \implies x = 4 bulunur. Ancak x=4x = 4 asal sayı olmadığından bu durum elenir. Diğer bölen çiftleri tam sayı çözümü vermez.
Asal sayı koşulunu sağlayan tekil çözümü belirlemek için her olası durum değerlendirilir.
5
Bulunan uygun değerlerin toplamını hesaplayalım.
x+y+z=3+2+17=22x + y + z = 3 + 2 + 17 = 22 bulunur.
Soru kökünde istenen toplam değerine ulaşılır.

Key Concept

Temel Kavramlar, Tam Sayı Denklemleri ve Asal Sayılar
Rate this question

Topics

Temel Kavramlar

More questions from this topic