Examkin

Question

Difficulty: MediumTemel Kavramlar
aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.
a+3b−2c=27a + 3b - 2c = 27
2a−b+c=152a - b + c = 15
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en küçük de��er kaçtır?
  1. A
    11
  2. B
    14
  3. C
    18
  4. 19Answer
  5. E
    30

Answer

Toplamın alabileceği en küçük değer 19'dur.
Verilen denklem sisteminde ikinci denklem 2 ile çarpılıp ilk denklemle toplandığında 5a+b=575a + b = 57 elde edilir. Buradan b=57−5ab = 57 - 5a yazılabilir. Bu ifade ikinci denklemde yerine yazıldığında c=72−7ac = 72 - 7a bulunur. aa, bb ve cc pozitif tam sayılar olduğundan, 57−5a≥1  ⟹  a≤1157 - 5a \geq 1 \implies a \leq 11 ve 72−7a≥1  ⟹  a≤1072 - 7a \geq 1 \implies a \leq 10 koşulları sağlanmalıdır. Dolayısıyla aa en fazla 10 olabilir. a+b+ca + b + c toplamı 129−11a129 - 11a ifadesine eşit olduğundan, toplamın en küçük değeri a=10a = 10 için 129−110=19129 - 110 = 19 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İkinci denklemi 2 ile genişletip birinci denklemle taraf tarafa toplayalım.
5a+b=575a + b = 57 elde edilir.
cc değişkenini yok ederek aa ile bb arasında bir bağıntı kurmak.
2
Elde edilen bağıntıdan bb değişkenini çekelim ve ikinci denklemde yerine yazarak cc değişkenini aa cinsinden ifade edelim.
b=57−5ab = 57 - 5a ve c=72−7ac = 72 - 7a bulunur.
Tüm değişkenleri tek bir değişken (aa) türünden yazarak sınır koşullarını belirlemek.
3
aa, bb ve cc değişkenlerinin pozitif tam sayı olma koşullarını inceleyelim.
a≥1a \geq 1, 57−5a≥1  ⟹  a≤1157 - 5a \geq 1 \implies a \leq 11 ve 72−7a≥1  ⟹  a≤1072 - 7a \geq 1 \implies a \leq 10 olur. Buradan ortak çözüm kümesi 1≤a≤101 \leq a \leq 10 olarak bulunur.
Pozitif tam sayı kısıtlamalarını sağlayan geçerli aa aralığını bulmak.
4
a+b+ca + b + c toplamını aa değişkeni cinsinden yazıp en küçük değerini bulalım.
a+b+c=a+(57−5a)+(72−7a)=129−11aa + b + c = a + (57 - 5a) + (72 - 7a) = 129 - 11a elde edilir. Bu toplamın en küçük olması için en büyük aa değeri olan 1010 seçilmelidir. Toplam 129−11(10)=19129 - 11(10) = 19 olur.
Katsayısı negatif olan ifadenin değerini en küçük yapmak için değişkeni en büyük seçmek.

Key Concept

İki bilinmeyenli veya üç bilinmeyenli denklem sistemlerinde pozitif tam sayı kısıtlamaları altında en küçük ve en büyük değerlerin bulunması.

Hints

1
Denklemlerden birini uygun bir katsayı ile çarparak değişkenlerden birini (örneğin cc değişkenini) yok etmeye çalışın.
2
cc değişkenini yok ettikten sonra elde ettiğiniz bağıntıda aa, bb ve cc değerlerinin pozitif tam sayı olması gerektiğini unutmayın.

Practice More

Benzer şekilde üç bilinmeyenli ve iki denklemli sistemlerde en büyük veya en küçük değerler sorulduğunda, değişkenlerin tam sayı sınır koşullarına dikkat edilerek çözüm yapılmalıdır.

Alternative Method

Denklemleri taraf tarafa topladıktan sonra elde edilen 5a+b=575a + b = 57 eşitliğinde aa ve bb değerlerine pozitif tam sayı değerleri verilerek deneme yapılabilir. aa değeri büyüdükçe cc'nin pozitif kalma koşulu göz önünde bulundurularak uygun en büyük aa değeri belirlenebilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Temel Kavramlar

More questions from this topic