İki torbadan birincisinde 3 kırmızı ve 2 beyaz, ikincisinde ise 1 kırmızı ve 3 beyaz bilye… — ALES

İki torbadan birincisinde 3 kırmızı ve 2 beyaz, ikincisinde ise 1 kırmızı ve 3 beyaz bilye bulunmaktadır. Rastgele bir torba seçilip içinden rastgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin kırmızı olduğu bilindiğine göre, bu bilyenin birinci torbadan çekilmiş olma olasılığı kaçtır?

A
$\frac{3}{10}$
B
$\frac{3}{5}$
C
$\frac{6}{11}$
$\frac{12}{17}$ Answer
E
$\frac{5}{17}$

Answer

Çekilen bilyenin birinci torbadan gelme olasılığı

\frac{12}{17}

'dir.

Çekilen bilyenin kırmızı olduğu bilindiği için örnek uzayımız tüm kırmızı bilye çekilme durumları ile sınırlandırılmıştır. Toplam kırmızı çekilme olasılığı

\frac{17}{40}

'tır. Bu kırmızı bilyelerin birinci torbadan gelme olasılığı (kesişim) ise

\frac{3}{10}

'dur. Koşullu olasılık tanımı gereği, birinci torbadan gelme olasılığı kesişim olasılığının toplam kırmızı olasılığına bölünmesiyle elde edilir:

\frac{3}{10} / \frac{17}{40} = \frac{12}{17}

. Bu nedenle doğru yanıt

\frac{12}{17}

olan seçenektir.

Step-by-Step Solution

Torbaların seçilme olasılıklarını ve her bir torbadan kırmızı bilye çekilme olasılıklarını belirlemek.

Birinci torbanın seçilme olasılığı

P(\text{Birinci}) = \frac{1}{2}

, bu torbadan kırmızı çekilme olasılığı

P(\text{Kırmızı} | \text{Birinci}) = \frac{3}{5}

'tir. İkinci torbanın seçilme olasılığı

P(\text{İkinci}) = \frac{1}{2}

, bu torbadan kırmızı çekilme olasılığı

P(\text{Kırmızı} | \text{İkinci}) = \frac{1}{4}

'tür.

Koşullu olasılık hesabında kullanılacak kesişim ve toplam olasılıkları bulmak için bu temel olasılıklara ihtiyaç vardır.

Kırmızı bilye çekilmesinin toplam olasılığını (

P(\text{Kırmızı})

) hesaplamak.

P(\text{Kırmızı}) = P(\text{Birinci}) \times P(\text{Kırmızı} | \text{Birinci}) + P(\text{İkinci}) \times P(\text{Kırmızı} | \text{İkinci}) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{10} + \frac{1}{8} = \frac{12}{40} + \frac{5}{40} = \frac{17}{40}

'tır.

Koşullu olasılık formülünde payda kısmını oluşturacak olan kısıtlanmış örnek uzayın olasılığını bulmak gerekir.

Koşullu olasıl��k formülünü uygulayarak sonucu bulmak.

P(\text{Birinci} | \text{Kırmızı}) = \frac{P(\text{Birinci ve Kırmızı})}{P(\text{Kırmızı})} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{17}{40}} = \frac{3}{10} \times \frac{40}{17} = \frac{12}{17}

'dir.

Çekilen bilyenin kırmızı olduğu bilindiğine göre, bu bilyenin birinci torbadan gelme olasılığı koşullu olasılık tanımına göre bu şekilde hesaplanır.

Key Concept

Koşullu Olasılık

Alternative Method

Alternatif bir yol olarak, bilye sayılarını ortak bir paydada eşitleyerek doğrudan eleman sayıları üzerinden gidebiliriz. Birinci torbadaki bilye sayılarını 8 ile genişletirsek 24 kırmızı ve 16 beyaz (toplam 40) bilye elde ederiz. İkinci torbadaki bilye sayılarını 10 ile genişletirsek 10 kırmızı ve 30 beyaz (toplam 40) bilye elde ederiz. Torbaların seçilme olasılıkları eşit olduğu için, toplam kırmızı bilye sayısı temsilcisi

24 + 10 = 34

olur. Bu kırmızı bilyelerin 24 tanesi birinci torbadan geldiği için olasılık

\frac{24}{34} = \frac{12}{17}

olarak bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic