İki basamaklı AB ve CD doğal sayıları için \triangle işlemi AB \triangle CD = (A + D) \cdo… — ALES

İki basamaklı $AB$ ve $CD$ doğal sayıları için $\triangle$ işlemi

AB \triangle CD = (A + D) \cdot (B + C)

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

xy \triangle 34 = 40

eşitliğini sağlayan kaç farklı iki basamaklı

xy

doğal sayısı vardır?

A
1
B
2
3Answer
D
4
E
5

Answer

Koşulları sağlayan 3 farklı iki basamaklı doğal sayı vardır.

İşlem tanımı uygulandığında elde edilen

(x+4) \cdot (y+3) = 40

denkleminde,

xy

sayısının iki basamaklı bir doğal sayı olması için onlar basamağındaki

x

rakamının sıfırdan büyük olması (

x \ge 1

) ve birler basamağındaki

y

değerinin bir rakam olması (

0 \le y \le 9

) gerekir. Bu koşulları sağlayan

(x, y)

çiftleri yalnızca

(1, 5)

(4, 2)

(6, 1)

olup, karşılık gelen sayılar 15, 42 ve 61'dir. Dolayısıyla 3 farklı değer bulunur.

Step-by-Step Solution

Verilen işlemi

xy

34

sayılarına uygulamak.

xy \triangle 34 = (x + 4) \cdot (y + 3) = 40

denklemi elde edilir.

İşlem tanımında birinci sayının onlar basamağı (

A=x

) ile ikinci sayının birler basamağı (

D=4

) toplanır; birinci sayının birler basamağı (

B=y

) ile ikinci sayının onlar basamağı (

C=3

) toplanır ve bu iki toplam çarpılır.

Elde edilen denklemin çarpanlarını belirlemek.

(x + 4) \cdot (y + 3) = 40

eşitliğinde, çarpımları 40 olan pozitif tam sayı çiftleri belirlenir. Bu çiftler:

(1, 40)

(2, 20)

(4, 10)

(5, 8)

(8, 5)

(10, 4)

(20, 2)

(40, 1)

şeklindedir.

x

y

birer rakam olduğu için

x+4

y+3

ifadeleri pozitif tam sayılardır.

Rakam ve basamak koşullarını kontrol etmek.

xy

iki basamaklı bir doğal sayı olduğundan,

x

onlar basamağında yer alır ve

x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}

y

ise birler basamağında yer alır ve

y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}

olmalıdır. Buradan

x+4 \ge 5

y+3 \ge 3

sınırları elde edilir.

Bir sayının iki basamaklı olabilmesi için onlar basamağının sıfırdan farklı bir rakam olması gerekir.

Olası çarpan çiftlerini süzmek.

Belirlenen sınırlar dahilinde çarpan çiftleri incelenir:
-

x+4 = 5

y+3 = 8 \implies x = 1, y = 5 \implies xy = 15

(Geçerli)
-

x+4 = 8

y+3 = 5 \implies x = 4, y = 2 \implies xy = 42

(Geçerli)
-

x+4 = 10

y+3 = 4 \implies x = 6, y = 1 \implies xy = 61

(Geçerli)
-

x+4 = 4

y+3 = 10 \implies x = 0, y = 7 \implies xy = 07

(Geçersiz, iki basamaklı değil)
Diğer durumlarda

x

veya

y

rakam sınırını aşmaktadır.

Sadece 15, 42 ve 61 sayıları tüm rakam ve basamak kurallarını sağlar.

Key Concept

Özel tanımlı işlemler ve iki basamaklı sayı kuralları altında denklem çözümü.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic