Examkin

Question

Difficulty: Very hardÖzel Tanımlı İşlemler

1 ile 10 (1 ve 10 dahil) arasındaki tam sayılar kümesi üzerinde ⊕\oplus ve ⊗\otimes işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

* x⊕yx \oplus y: xx ile yy sayılarının oluşturduğu kapalı aralıktaki asal sayıların sayısıdır. (Örneğin; 3⊕63 \oplus 6 ifadesi, [3,6][3, 6] aralığındaki 3 ve 5 asal sayıları olmak üzere 2'ye eşittir.)
* x⊗y=(x⊕y)⋅∣x−y∣x \otimes y = (x \oplus y) \cdot |x - y|

Buna göre, bu kümenin elemanı olan ve birbirinden farklı aa ve bb tam sayıları için
a⊗b=12a \otimes b = 12
eşitliğini sağlayan kaç farklı (a,b)(a, b) sıralı ikilisi vardır?
  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Answer
  4. D
    10
  5. E
    12

Answer

Eşitliği sağlayan 8 farklı (a, b) sıralı ikilisi vardır.
Eşitliği sağlayan sıralı ikililer, aralarındaki fark 6 olan [4,10][4, 10] aralığından gelen 2 ikili ile aralarındaki fark 4 olan [1,5][1, 5], [2,6][2, 6], [3,7][3, 7] aralıklarından gelen 6 ikilinin toplamından oluşan 8 adet sıralı ikilidir.

Step-by-Step Solution

1
Tanımlanan işlemlerin matematiksel ifadesini yazma
a⊗b=12a \otimes b = 12 eşitliği, kural gereği (a⊕b)⋅∣a−b∣=12(a \oplus b) \cdot |a - b| = 12 biçiminde ifade edilir.
Sorudaki özel tanımlı işlemleri temel cebirsel formüle dönüştürmek için.
2
Fark teriminin (∣a−b∣|a - b|) alabileceği değer aralığını ve bölenlerini belirleme
aa ve bb sayıları {1,2,…,10}\{1, 2, \dots, 10\} kümesinin elemanları olduğundan, aralarındaki mutlak fark ∣a−b∣|a - b| en fazla 10−1=910 - 1 = 9 olabilir. Ayrıca, (a⊕b)(a \oplus b) bir tam sayı olduğundan, ∣a−b∣|a - b| değeri 12'nin bir tam sayı böleni olmalıdır. Bu koşullara uyan olası farklar 1, 2, 3, 4 ve 6'dır.
Çözüm uzayını sınırlamak ve durumları tek tek analiz edebilmek için.
3
Farkın 6 olduğu durumları analiz etme
∣a−b∣=6|a - b| = 6 ise a⊕b=12/6=2a \oplus b = 12 / 6 = 2 olmalıdır. Bu kümede aralarındaki fark 6 olan kapalı aralıklar: [1,7][1, 7] (4 asal), [2,8][2, 8] (4 asal), [3,9][3, 9] (3 asal) ve [4,10][4, 10] (2 asal: 5 ve 7). Yalnızca [4,10][4, 10] aralığı koşulu sağlar. Buradan (4,10)(4, 10) ve (10,4)(10, 4) olmak üzere 2 farklı sıralı ikili elde edilir.
Mesafe 6 iken koşulu sağlayan sayı çiftlerini belirlemek için.
4
Farkın 4 olduğu durumları analiz etme
∣a−b∣=4|a - b| = 4 ise a⊕b=12/4=3a \oplus b = 12 / 4 = 3 olmalıdır. Kümede aralarındaki fark 4 olan kapalı aralıklar incelenir: [1,5][1, 5] (3 asal: 2, 3, 5 - sağlar), [2,6][2, 6] (3 asal: 2, 3, 5 - sağlar), [3,7][3, 7] (3 asal: 3, 5, 7 - sağlar), [4,8][4, 8] (2 asal - sağlamaz), [5,9][5, 9] (2 asal - sağlamaz) ve [6,10][6, 10] (1 asal - sağlamaz). Sağlayan 3 aralıktan sırasıyla (1,5),(5,1),(2,6),(6,2),(3,7),(7,3)(1, 5), (5, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 7), (7, 3) olmak üzere 6 farklı sıralı ikili elde edilir.
Mesafe 4 iken koşulu sağlayan sayı çiftlerini belirlemek için.
5
Kalan fark durumlarının elenmesi
- ∣a−b∣=3|a - b| = 3 için a⊕b=4a \oplus b = 4 olmalıdır. Ancak bu kümede 4 elemanlı hiçbir kapalı aralıkta 4 asal sayı bulunamaz.
- ∣a−b∣=2|a - b| = 2 için a⊕b=6a \oplus b = 6 olmalıdır. 3 elemanlı bir aralıkta en fazla 2 asal sayı bulunabilir.
- ∣a−b∣=1|a - b| = 1 için a⊕b=12a \oplus b = 12 olmalıdır. 2 elemanlı bir aralıkta en fazla 2 asal sayı bulunabilir.
Bu nedenle diğer durumlardan çözüm gelmez.
Olası diğer tüm bölenleri eleyerek çözümün eksiksiz olduğunu garantilemek için.
6
Toplam sıralı ikili sayısını hesaplama
Farkı 6 olan durumlardan 2, farkı 4 olan durumlardan 6 ikili gelmektedir. Toplamda 2 + 6 = 8 farklı sıralı ikili bulunur.
Bulunan tüm durumların toplam sayısını elde etmek için.

Key Concept

Aralıkta asal sayı sayma kuralıyla birleştirilmiş özel tanımlı işlemler
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic