Examkin

Question

Difficulty: MediumKoni

Bir dik dairesel koninin yan yüzeyi düzleme açıldığında elde edilen daire diliminin merkez açısı 216∘216^\circ ve yarıçapı (ana doğrusunun uzunluğu) 15 cm15\text{ cm}'dir. Bu koni, tabanına paralel bir düzlemle kesilerek üstte kalan küçük koninin yüksekliğinin altta kalan kesik koninin yüksekliğine oranı 22 olacak şekilde iki parçaya ayrılıyor.

Buna göre, elde edilen kesik koninin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 tür?

  1. A
    75
  2. B
    108
  3. C
    180
  4. 228Answer
  5. E
    684

Answer

Elde edilen kesik koninin hacmi 228π cm3228\pi\text{ cm}^3 tür.
Doğru cevap 228228 değeridir. Koninin yanal yüzey açınımından taban yarıçapı r=15⋅216360=9 cmr = 15 \cdot \frac{216}{360} = 9\text{ cm} ve Pisagor teoremi yardımıyla yüksekliği H=12 cmH = 12\text{ cm} bulunur. Yükseklikler oranı kullanılarak benzerlik oranı k=812=23k = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} belirlenir. Hacimler oranı k3=827k^3 = \frac{8}{27} olduğundan kesik koninin hacmi toplam hacmin 1927\frac{19}{27}'sidir. Toplam hacim 324π cm3324\pi\text{ cm}^3 olduğundan kesik koninin hacmi 228π cm3228\pi\text{ cm}^3 olur.

Step-by-Step Solution

1
Koninin taban yarıçapını bulma
r=9 cmr = 9\text{ cm}
Yanal yüzey açınımındaki taban yarıçapı (rr), ana doğru uzunluğu (aa) ve merkez açı (α\alpha) ili��kisi r=a⋅α360∘r = a \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} formülüyle bulunur. Buradan r=15⋅216360=9 cmr = 15 \cdot \frac{216}{360} = 9\text{ cm} elde edilir.
2
Koninin yüksekliğini hesaplama
H=12 cmH = 12\text{ cm}
Dik konide taban yarıçapı (rr), yükseklik (HH) ve ana doğru (aa) arasında Pisagor bağıntısı (r2+H2=a2r^2 + H^2 = a^2) geçerlidir. 92+H2=152⇒H=12 cm9^2 + H^2 = 15^2 \Rightarrow H = 12\text{ cm} (9-12-15 özel dik üçgeni) bulunur.
3
Küçük koni ve kesik koninin yüksekliklerini belirleme
hku¨c¸u¨k=8 cmh_{\text{küçük}} = 8\text{ cm}, hkesik=4 cmh_{\text{kesik}} = 4\text{ cm}
Üstte kalan küçük koninin yüksekliğinin altta kalan kesik koninin yüksekliğine oranı 22 olarak verilmiştir (hku¨c¸u¨k=2⋅hkesikh_{\text{küçük}} = 2 \cdot h_{\text{kesik}}). Toplam yükseklik H=12 cmH = 12\text{ cm} olduğuna göre, 3⋅hkesik=12⇒hkesik=4 cm3 \cdot h_{\text{kesik}} = 12 \Rightarrow h_{\text{kesik}} = 4\text{ cm} ve hku¨c¸u¨k=8 cmh_{\text{küçük}} = 8\text{ cm} bulunur.
4
Toplam koni hacmini hesaplama
Vtoplam=324π cm3V_{\text{toplam}} = 324\pi\text{ cm}^3
Koni hacim formülü V=13πR2HV = \frac{1}{3} \pi R^2 H yardımıyla, orijinal koninin hacmi Vtoplam=13π⋅92⋅12=324π cm3V_{\text{toplam}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 9^2 \cdot 12 = 324\pi\text{ cm}^3 olarak hesaplanır.
5
Kesik koninin hacmini bulma
Vkesik=228π cm3V_{\text{kesik}} = 228\pi\text{ cm}^3
Benzer konilerin hacimleri oranı, benzerlik oranının küpüne eşittir. Benzerlik oranı k=hku¨c¸u¨kH=812=23k = \frac{h_{\text{küçük}}}{H} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}'tür. Hacimler oranı k3=(23)3=827k^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} olur. Bu durumda üstteki küçük koninin hacmi Vku¨c¸u¨k=827VtoplamV_{\text{küçük}} = \frac{8}{27} V_{\text{toplam}} ve kesik koninin hacmi Vkesik=(1−827)Vtoplam=1927⋅324π=19⋅12π=228π cm3V_{\text{kesik}} = \left(1 - \frac{8}{27}\right) V_{\text{toplam}} = \frac{19}{27} \cdot 324\pi = 19 \cdot 12\pi = 228\pi\text{ cm}^3 olarak hesaplanır.

Key Concept

Konide yanal yüzey açınımı elemanları arasındaki ilişki, yükseklik bağıntısı ve paralel kesitlerle oluşan konilerde benzerlik oranı ile hacim oranı (k3k^3) ilişkisi.
Rate this question

Topics

Koni

More questions from this topic