Examkin

Question

Difficulty: HardTemel Kavramlar
aa, bb ve cc birer tam sayıdır.
a⋅b+c=13a \cdot b + c = 13
a+b⋅c=13a + b \cdot c = 13
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamın��n alabileceği en büyük değer kaçtır?
  1. A
    13
  2. B
    14
  3. C
    24
  4. 26Answer
  5. E
    28

Answer

26
Denklem sistemi taraf tarafa çıkarılıp ortak çarpan parantezine alındığında (a−c)(b−1)=0(a-c)(b-1) = 0 elde edilir. Buradan iki durum oluşur: Birincisi b=1b = 1 durumudur ki bu durumda a+c=13a + c = 13 ve toplam 1414 olur. İkincisi a=ca = c durumudur ki bu durumda a(b+1)=13a(b+1) = 13 elde edilir. 1313 asal sayısı için en büyük toplamı veren a=13a = 13, b=0b = 0, c=13c = 13 çözümüyle a+b+ca + b + c değeri en fazla 2626 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkararak ortak bir çarpan bulmaya çalışın.
(a⋅b+c)−(a+b⋅c)=13−13  ⟹  a⋅b−a−b⋅c+c=0(a \cdot b + c) - (a + b \cdot c) = 13 - 13 \implies a \cdot b - a - b \cdot c + c = 0 ifadesi elde edilir.
Çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak değişkenler arasındaki ilişkileri belirlemek için denklemler sadeleştirilir.
2
Elde edilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
a(b−1)−c(b−1)=0  ⟹  (a−c)(b−1)=0a(b - 1) - c(b - 1) = 0 \implies (a - c)(b - 1) = 0 denklemi bulunur.
Çarpımın sıfır olması, çarpanlardan en az birinin sıfır olmas��nı gerektirir. Bu da bize iki farklı durum sunar.
3
Birinci durum olan b−1=0  ⟹  b=1b - 1 = 0 \implies b = 1 olasılığını inceleyin.
b=1b = 1 için denklemde yerine yazıldığında a+c=13a + c = 13 elde edilir. Bu durumda toplam a+b+c=(a+c)+b=13+1=14a + b + c = (a + c) + b = 13 + 1 = 14 olur.
b=1b = 1 olduğu tüm durumlarda a+b+ca + b + c toplamı sabit kalır ve 14 değerini alır.
4
İkinci durum olan a−c=0  ⟹  a=ca - c = 0 \implies a = c olasılığını inceleyin ve tam sayı çarpanlarını belirleyin.
a=ca = c için birinci denklemde yerine yazılırsa a⋅b+a=13  ⟹  a(b+1)=13a \cdot b + a = 13 \implies a(b + 1) = 13 elde edilir. 1313 asal sayı olduğundan tam sayı çarpanları ±1\pm 1 ve ±13\pm 13'tür.
Tam sayı çözümleri bulmak için asal sayının çarpanları değerlendirilir.
5
En büyük toplamı elde etmek için bu çarpan durumlarını karşılaştırın.
a=13a = 13 ve b+1=1  ⟹  b=0b + 1 = 1 \implies b = 0 alınırsa, a=c=13a = c = 13 olacağından a+b+c=13+0+13=26a + b + c = 13 + 0 + 13 = 26 bulunur. Diğer durumlarda daha küçük toplamlar elde edilir (a=1  ⟹  14a = 1 \implies 14, a=−13  ⟹  −28a = -13 \implies -28, a=−1  ⟹  −16a = -1 \implies -16). Bu durumda en büyük değer 2626 olur.
Olası tüm tam sayı değerleri değerlendirilerek en büyük toplam değeri tespit edilmiş olur.

Key Concept

Tam Sayılarda Çarpanlara Ayırma ve Asal Çarpan Analizi

Hints

1
Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkararak ortak bir çarpan bulmaya çalışın.
2
Taraf tarafa çıkarma sonucu (a−c)(b−1)=0(a-c)(b-1) = 0 elde edeceksiniz. Buradan a=ca=c veya b=1b=1 durumlarını ayrı ayrı değerlendirin.

Alternative Method

Denklemleri taraf tarafa topladığınızda (b+1)(a+c)=26(b+1)(a+c) = 26 elde edilir. Bu denklemi de çarpanlarına ayırarak olası tam sayı gruplarını deneyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Temel Kavramlar

More questions from this topic