Examkin

Question

Difficulty: HardÖzel Tanımlı İşlemler
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ⊙\odot işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x⊙y=3x+y−2(y⊙x)x \odot y = 3x + y - 2(y \odot x)
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre, 4⊙24 \odot 2 işleminin sonucu kaçtır?
  1. A
    14
  2. B
    10
  3. 2Answer
  4. D
    6
  5. E
    8

Answer

İşlemin sonucu 2'dir.
Verilen işlem tanımında 4⊙24 \odot 2 ve 2⊙42 \odot 4 ifadeleri birbirine bağlı iki bilinmeyen oluşturmaktadır. Bu ifadelere sırasıyla AA ve BB denilirse, A=14−2BA = 14 - 2B ve B=10−2AB = 10 - 2A doğrusal denklem sistemi elde edilir. Bu sistemde yerine koyma yöntemi uygulandığında A=2A = 2 olarak çözülür. Bu da aradığımız 4⊙24 \odot 2 işleminin sonucudur.

Step-by-Step Solution

1
4⊙24 \odot 2 ifadesini bulmak için verilen tanımda x=4x = 4 ve y=2y = 2 yazılır.
4⊙2=3(4)+2−2(2⊙4)  ⟹  4⊙2=14−2(2⊙4)4 \odot 2 = 3(4) + 2 - 2(2 \odot 4) \implies 4 \odot 2 = 14 - 2(2 \odot 4) elde edilir.
İstenen ifadeyi, değişkenlerin yer değiştirmiş hali olan diğer bilinmeyen cinsinden yazmak için.
2
2⊙42 \odot 4 ifadesini bulmak için tanımda x=2x = 2 ve y=4y = 4 yazılır.
2⊙4=3(2)+4−2(4⊙2)  ⟹  2⊙4=10−2(4⊙2)2 \odot 4 = 3(2) + 4 - 2(4 \odot 2) \implies 2 \odot 4 = 10 - 2(4 \odot 2) elde edilir.
İki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurabilmek amacıyla ikinci bağıntıyı elde etmek için.
3
4⊙2=A4 \odot 2 = A ve 2⊙4=B2 \odot 4 = B dönüşümleri yapılarak elde edilen denklem sistemi çözülür.
A=14−2BA = 14 - 2B ve B=10−2AB = 10 - 2A denklem sistemi elde edilir. İkinci denklem birincide yerine yazılırsa: A=14−2(10−2A)  ⟹  A=14−20+4A  ⟹  A=−6+4A  ⟹  3A=6  ⟹  A=2A = 14 - 2(10 - 2A) \implies A = 14 - 20 + 4A \implies A = -6 + 4A \implies 3A = 6 \implies A = 2 bulunur.
Bilinmeyenlerden AA değerini, yani 4⊙24 \odot 2 işleminin sonucunu bulmak için.

Key Concept

Değişme özelliği olmayan işlemlerde, değişkenlerin yerleri değiştirilerek iki bilinmeyenli denklem sistemleri kurulur ve ortak çözüm yöntemiyle sonuca ulaşılır.

Hints

1
4⊙24 \odot 2 değerini hesaplamak için verilen tanımda xx yerine 4, yy yerine 2 yazarak ilk denklemi kurun.
2
Elde ettiğiniz denklemde yer alan 2⊙42 \odot 4 ifadesini bulmak için bu kez tanımda xx yerine 2, yy yerine 4 yazarak ikinci bir denklem oluşturun.
3
4⊙2=A4 \odot 2 = A ve 2⊙4=B2 \odot 4 = B değişken dönüşümlerini uygulayarak elde ettiğiniz iki bilinmeyenli denklem sistemini çözün.

Practice More

Benzer şekilde değişme özelliği olmayan ve kendisiyle ilişkili tanımlanan diğer işlem ve fonksiyon tiplerinde de değişkenlerin rollerini değiştirip sistem kurarak sonuca gidebilirsiniz.

Alternative Method

İşlem tanımını genel olarak çözmek de mümkündür. x⊙y=Ax \odot y = A ve y⊙x=By \odot x = B olsun. Buradan A=3x+y−2BA = 3x + y - 2B ve B=3y+x−2AB = 3y + x - 2A denklem sistemi yazılır. İkinci denklem birincide yerine yazılıp düzenlenirse, genel işlem formülü x⊙y=5y−x3x \odot y = \frac{5y - x}{3} olarak elde edilir. Bu formülde x=4x=4 ve y=2y=2 yazıldığında doğrudan 4⊙2=5(2)−43=24 \odot 2 = \frac{5(2) - 4}{3} = 2 sonucuna ulaşılır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic