Çemberde Teğet Özellikleri Practice Questions — ALES

Question 1Question →

Bir $O$ merkezli ve $R = 2 + \text{sim}\text{ cm}$ değil, $R = 2 + \sqrt{2}\text{ cm}$ yarıçaplı çeyrek çemberin içine; çember yayına ve birbirine dik olan $OA$ ile $OB$ yarıçap doğrularına teğet olacak şekilde $M$ merkezli küçük bir çember çiziliyor.

Bu küçük çembere, $O$ noktasına en yakın olan $T$ noktasından çizilen teğet doğrusu, $OA$ yarıçapını $P$ noktasında ve $OB$ yarı��apını $Q$ noktasında kesmektedir.

Buna göre, $PQ$ doğru parçasının uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

2\sqrt{2} - 2

2\sqrt{2}

4 - 2\sqrt{2}

4\sqrt{2} - 4

4 + 2\sqrt{2}

Show answer & explanation

Answer: $4 - 2\sqrt{2}$

Answer

Dört eksi iki kök iki

Çemberlerin teğetlik bağıntısından küçük çemberin yarıçapı

r = \sqrt{2}\text{ cm}

olarak bulunur.

O

noktasına en yakın teğet noktası

T

için

OT = OM - r = 2 - \sqrt{2}\text{ cm}

'dir.

T

noktasından çizilen teğet doğrusu

OM

doğrusuna dik olduğundan, eksenlerle oluşturduğu

OPQ

üçgeni ikizkenar dik üçgendir. Bu üçgende

OT

yüksekliği hipotenüsün yarısına eşit olduğundan

PQ = 2 \cdot OT = 4 - 2\sqrt{2}\text{ cm}

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Küçük çemberin yarıçapını (

r

) belirlemek için çeyrek çemberin merkezi ile küçük çemberin merkezini birleştiren doğruyu çiziniz.

M

merkezli küçük çember, dik

OA

ve

OB

doğrularına teğet olduğundan merkez koordinatları

(r, r)

olur ve

OM = r\sqrt{2}

olarak bulunur.

Eksenlere teğet olan çemberin merkezinin eksenlere olan dik uzaklıkları yarıçapa eşittir ve orijine uzaklığı Pisagor bağıntısı ile hesaplanır.

2

Küçük çemberin büyük çeyrek çemberin yayına teğet olduğu noktayı

H

olarak belirleyip

r

değerini hesaplayınız.

OM + MH = R \Rightarrow r\sqrt{2} + r = 2 + \sqrt{2} \Rightarrow r(\sqrt{2}+1) = \sqrt{2}(\sqrt{2}+1) \Rightarrow r = \sqrt{2}\text{ cm}

bulunur.

Teğet olan çemberlerin merkezleri ve değme noktası doğrusaldır; bu doğrusal hattın toplam uzunluğu büyük çeyrek çemberin yarıçapına eşittir.

3

O

noktasına en yakın teğet noktası olan

T

'nin

O

'ya uzaklığını bulunuz.

OT = OM - r = r\sqrt{2} - r = 2 - \sqrt{2}\text{ cm}

'dir.

T

noktası

OM

doğrusu üzerinde ve çemberin

O

noktasına bakan tarafındaki sınırında yer alır.

4

T

noktasındaki teğetin oluşturduğu

OPQ

dik üçgeninde

PQ

uzunluğunu hesaplayınız.

OPQ

üçgeni teğet dikliğinden dolayı

O

köşesinde dik açısı olan bir ikizkenar dik üçgendir.

OT

bu üçgenin hipotenüse ait yüksekliği olup

PQ = 2 \cdot OT = 2(2 - \sqrt{2}) = 4 - 2\sqrt{2}\text{ cm}

'dir.

45^\circ - 45^\circ - 90^\circ

üçgeninin simetri özelliğinden dolayı muhteşem üçlü kuralı geçerlidir ve yükseklik hipotenüsün yarısıdır.

Key Concept

İki çemberin birbirine teğet olması durumunda merkezlerinin doğrusal olması ve teğet doğrularının değme noktasında yarıçapa dik olması özellikleri.

Hints

1

Küçük çemberin merkezini

M

olarak belirleyip eksenlere olan dik uzaklıklarının

r

olduğunu ve büyük çeyrek çemberin yarıçapının

R = 2 + \sqrt{2}

olduğunu kullanın.

2

O

,

M

ve büyük çember üzerindeki teğet noktasının doğrusal olduğunu göz önünde bulundurarak

OM + r = R

eşitliğinden

r

değerini hesaplayın.

3

T

noktasındaki teğet doğrusu

OM

doğrusuna diktir.

OPQ

üçgeninin tepe açısı

90^\circ

olan bir ikizkenar dik üçgen olduğunu fark edin ve muhteşem üçlüyü uygulayın.

Practice More

Benzer şekilde, küçük çemberin çeyrek çemberin dış teğet çemberi olması durumundaki yarıçap oranlarını ve teğet özelliklerini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Analitik geometri kullanarak çözebilirsiniz:

O

noktasını orijin

(0,0)

kabul edip

OA

ve

OB

doğrularını sırasıyla

x

ve

y

eksenleri olarak tanımlayın. Küçük çemberin merkezi

M(r,r)

olur.

x^2 + y^2 = R^2

çeyrek çemberi ile

(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2

çemberinin teğetlik şartından

r

'yi bulun. Ardından

T

noktasının koordinatlarını bulup bu noktadaki teğet doğrusunun denklemini yazarak eksenleri kestiği noktaların uzaklığını hesaplayabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 2Question →

Bir $O$ merkezli çemberin yarıçap�� $9\text{ cm}$ 'dir. Çemberin dışındaki bir $P$ noktasından çembere çizilen teğet doğrusu, çembere $T$ noktasında değmektedir. $P$ noktasının çembere en yakın uzaklığı $6\text{ cm}$ olduğuna göre, teğet parçasının uzunluğu ( $|PT|$ ) kaç santimetredir?

6

8

12

15

18

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Teğet parçasının uzunluğu 12 cm'dir.

12 cm değerini içeren seçenek doğrudur. Çemberin teğet noktasına çizilen yarıçap teğet doğrusuna dik olduğundan, OTP dik üçgeni elde edilir. Bu üçgende hipotenüs uzunluğu merkezden dıştaki noktaya olan uzaklık olan 15 cm, dik kenarlardan biri ise yarıçap uzunluğu olan 9 cm'dir. Pisagor teoremiyle diğer dik kenar olan teğet parçasının uzunluğu 12 cm olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Merkezden teğet noktasına yarıçapı çizmek ve uzunluğunu belirlemek.

|OT| = r = 9\text{ cm}

Çemberin merkezi ile teğet değme noktası arasındaki uzaklık yarıçapa eşittir.

2

Merkezden dıştaki P noktasına olan uzaklığı belirlemek.

|OP| = 9 + 6 = 15\text{ cm}

P noktasının çembere en yakın uzaklığı 6 cm olduğuna göre, bu uzaklığa yarıçap uzunluğu eklenerek merkezden P noktasına olan toplam uzaklık bulunur.

3

Teğet noktasındaki dikliği kullanarak dik üçgeni belirlemek.

[OT] \perp [PT]

olduğundan

OTP

bir dik üçgendir.

Çemberin teğet doğrusuna teğet noktasında çizilen yarıçap teğet doğrusuna diktir.

4

OTP dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak |PT| uzunluğunu hesaplamak.

|OP|^2 = |OT|^2 + |PT|^2 \implies 15^2 = 9^2 + |PT|^2 \implies 225 = 81 + |PT|^2 \implies |PT|^2 = 144 \implies |PT| = 12\text{ cm}

Dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

Key Concept

Bir çemberde teğet değme noktasına çizilen yarıçap, teğet doğrusuna diktir. Bu diklik yardımıyla oluşturulan dik üçgende Pisagor bağıntısı kullanılarak teğet veya merkez uzaklığı hesaplanabilir.

Hints

1

Çemberin merkezi O ile teğet değme noktası T'yi birleştiren yarıçapı çizin ve teğete dik olduğunu gösterin.

2

Merkezden P noktasına çizilen çizginin çemberi kestiği noktaya K derseniz, |OK| = 9 cm (yarıçap) ve |KP| = 6 cm olur. Buradan |OP| uzunluğunu bulun.

3

Oluşan OTP dik üçgeninde hipotenüs 15 cm, bir dik kenar ise 9 cm'dir. Diğer dik kenar olan |PT|'yi bulmak için Pisagor bağıntısını uygulayın.

Estimated Time:50s

Question 3Question →

Bir dik açının kenarlarına teğet olan $12\text{ cm}$ yarıçaplı bir çember verilmiştir. Bu çemberin açının kenarları arasında kalan yayının üzerindeki bir $T$ noktasından çembere çizilen teğet doğrusu, açının kenarlarını $A$ ve $B$ noktalarında kesmektedir.

Buna göre, köşesi açının başlangıç noktası olan $OAB$ üçgeninin çevresi kaç $\text{cm}$ 'dir?

12

18

24

30

36

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Dik açının kollarına teğet olan çemberin teğet özelliklerinden faydalanıldığında, oluşan dik üçgenin çevresi çemberin yarıçapının iki katına eşittir. Bu nedenle çevre uzunluğu 24 cm'dir.

Doğru cevap 24 cm'dir. Çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunluklarının eşit olması kuralına göre, üçgenin kenarları arasındaki bağıntılar yazılıp toplandığında bilinmeyen teğet parçaları birbirini götürür. Geriye kalan sabit terimlerin toplamı, çemberin yarıçapının iki katı olan 24 cm değerini verir.

Step-by-Step Solution

1

Teğet noktalarını belirleme

Çemberin dik açının kollarına teğet olduğu noktalar

K

ve

L

olsun. Başlangıç noktası

O

olmak üzere, te��et kolları birbirine eşit olduğundan

|OK| = |OL| = r = 12\text{ cm}

olur.

Çemberin merkezinden teğet noktalarına çizilen yarıçaplar diktir ve kollarda oluşan dörtgen bir karedir.

2

Dış noktadan çizilen teğetlerin eşitliği özelliğini kullanma

A

noktasından çembere çizilen teğetler için

|AK| = |AT|

ve

B

noktasından çizilen teğetler için

|BL| = |BT|

eşitlikleri elde edilir.

Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçaların��n uzunlukları birbirine eşittir.

3

OAB

üçgeninin kenar uzunluklarını ifade etme

|OA| = |OK| - |AK| = 12 - |AT|

ve

|OB| = |OL| - |BL| = 12 - |BT|

yazılır. Üçgenin hipotenüsü ise

|AB| = |AT| + |BT|

'dir.

Üçgenin dik kenarları, teğet uzunluklarının tamamından dışarıda kalan teğet parçalarının çıkarılmasıyla elde edilir.

4

Çevre uzunluğunu hesaplama

Çevre

(OAB) = |OA| + |OB| + |AB| = (12 - |AT|) + (12 - |BT|) + (|AT| + |BT|) = 24\text{ cm}

bulunur.

Kenar uzunlukları toplandığında

|AT|

ve

|BT|

terimleri birbirini sadeleştirir ve geriye sadece teğet uzunluklarının toplamı kalır.

Key Concept

Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunluklarının eşit olması özelliği.

Hints

1

Çemberin dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunluklarının eşit olduğunu hatırlayınız.

2

Açının kolları üzerindeki teğet noktalarına

K

ve

L

diyerek

|AK| = |AT|

ve

|BL| = |BT|

eşitliklerini yazınız.

3

|OA| = 12 - |AT|

ve

|OB| = 12 - |BT|

yazıp bu ifadeleri üçgenin çevre formülünde yerlerine yerleştirerek sadeleştirme yapınız.

Practice More

Aynı çemberde dik açı yerine 60 derecelik bir açı kullanılsaydı çevre ve teğet uzunlukları nasıl değişirdi?

Alternative Method

T noktasını çember üzerinde hareket ettirdiğimizi düşünebiliriz. Limit durumunda T noktası K veya L noktasına yaklaştıkça dik üçgenin bir köşesi teğet noktasına doğru kayar. T noktası K noktası üzerine geldiğinde A noktası K ile çakışır ve

|OA| = 12

,

|OB| = 12

,

|AB| = 0

olur. Bu uç durumda da çevre toplamı

12 + 12 + 0 = 24\text{ cm}

olarak korunur.

Estimated Time:1m 30s

Çemberde Teğet Özellikleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method