Examkin

Question

Difficulty: HardÇemberde Teğet Özellikleri

Bir OO merkezli ve R=2+sim cmR = 2 + \text{sim}\text{ cm} değil, R=2+2 cmR = 2 + \sqrt{2}\text{ cm} yarıçaplı çeyrek çemberin içine; çember yayına ve birbirine dik olan OAOA ile OBOB yarıçap doğrularına teğet olacak şekilde MM merkezli küçük bir çember çiziliyor.

Bu küçük çembere, OO noktasına en yakın olan TT noktasından çizilen teğet doğrusu, OAOA yarıçapını PP noktasında ve OBOB yarı��apını QQ noktasında kesmektedir.

Buna göre, PQPQ doğru parçasının uzunluğu kaç cm\text{cm}'dir?

  1. A
    22−22\sqrt{2} - 2
  2. B
    222\sqrt{2}
  3. 4−224 - 2\sqrt{2}Answer
  4. D
    42−44\sqrt{2} - 4
  5. E
    4+224 + 2\sqrt{2}

Answer

Dört eksi iki kök iki
Çemberlerin teğetlik bağıntısından küçük çemberin yarıçapı r=2 cmr = \sqrt{2}\text{ cm} olarak bulunur. OO noktasına en yakın teğet noktası TT için OT=OM−r=2−2 cmOT = OM - r = 2 - \sqrt{2}\text{ cm}'dir. TT noktasından çizilen teğet doğrusu OMOM doğrusuna dik olduğundan, eksenlerle oluşturduğu OPQOPQ üçgeni ikizkenar dik üçgendir. Bu üçgende OTOT yüksekliği hipotenüsün yarısına eşit olduğundan PQ=2⋅OT=4−22 cmPQ = 2 \cdot OT = 4 - 2\sqrt{2}\text{ cm} elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Küçük çemberin yarıçapını (rr) belirlemek için çeyrek çemberin merkezi ile küçük çemberin merkezini birleştiren doğruyu çiziniz.
MM merkezli küçük çember, dik OAOA ve OBOB doğrularına teğet olduğundan merkez koordinatları (r,r)(r, r) olur ve OM=r2OM = r\sqrt{2} olarak bulunur.
Eksenlere teğet olan çemberin merkezinin eksenlere olan dik uzaklıkları yarıçapa eşittir ve orijine uzaklığı Pisagor bağıntısı ile hesaplanır.
2
Küçük çemberin büyük çeyrek çemberin yayına teğet olduğu noktayı HH olarak belirleyip rr değerini hesaplayınız.
OM+MH=R⇒r2+r=2+2⇒r(2+1)=2(2+1)⇒r=2 cmOM + MH = R \Rightarrow r\sqrt{2} + r = 2 + \sqrt{2} \Rightarrow r(\sqrt{2}+1) = \sqrt{2}(\sqrt{2}+1) \Rightarrow r = \sqrt{2}\text{ cm} bulunur.
Teğet olan çemberlerin merkezleri ve değme noktası doğrusaldır; bu doğrusal hattın toplam uzunluğu büyük çeyrek çemberin yarıçapına eşittir.
3
OO noktasına en yakın teğet noktası olan TT'nin OO'ya uzaklığını bulunuz.
OT=OM−r=r2−r=2−2 cmOT = OM - r = r\sqrt{2} - r = 2 - \sqrt{2}\text{ cm}'dir.
TT noktası OMOM doğrusu üzerinde ve çemberin OO noktasına bakan tarafındaki sınırında yer alır.
4
TT noktasındaki teğetin oluşturduğu OPQOPQ dik üçgeninde PQPQ uzunluğunu hesaplayınız.
OPQOPQ üçgeni teğet dikliğinden dolayı OO köşesinde dik açısı olan bir ikizkenar dik üçgendir. OTOT bu üçgenin hipotenüse ait yüksekliği olup PQ=2⋅OT=2(2−2)=4−22 cmPQ = 2 \cdot OT = 2(2 - \sqrt{2}) = 4 - 2\sqrt{2}\text{ cm}'dir.
45∘−45∘−90∘45^\circ - 45^\circ - 90^\circ üçgeninin simetri özelliğinden dolayı muhteşem üçlü kuralı geçerlidir ve yükseklik hipotenüsün yarısıdır.

Key Concept

İki çemberin birbirine teğet olması durumunda merkezlerinin doğrusal olması ve teğet doğrularının değme noktasında yarıçapa dik olması özellikleri.

Hints

1
Küçük çemberin merkezini MM olarak belirleyip eksenlere olan dik uzaklıklarının rr olduğunu ve büyük çeyrek çemberin yarıçapının R=2+2R = 2 + \sqrt{2} olduğunu kullanın.
2
OO, MM ve büyük çember üzerindeki teğet noktasının doğrusal olduğunu göz önünde bulundurarak OM+r=ROM + r = R eşitliğinden rr değerini hesaplayın.
3
TT noktasındaki teğet doğrusu OMOM doğrusuna diktir. OPQOPQ üçgeninin tepe açısı 90∘90^\circ olan bir ikizkenar dik üçgen olduğunu fark edin ve muhteşem üçlüyü uygulayın.

Practice More

Benzer şekilde, küçük çemberin çeyrek çemberin dış teğet çemberi olması durumundaki yarıçap oranlarını ve teğet özelliklerini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Analitik geometri kullanarak çözebilirsiniz: OO noktasını orijin (0,0)(0,0) kabul edip OAOA ve OBOB doğrularını sırasıyla xx ve yy eksenleri olarak tanımlayın. Küçük çemberin merkezi M(r,r)M(r,r) olur. x2+y2=R2x^2 + y^2 = R^2 çeyrek çemberi ile (x−r)2+(y−r)2=r2(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2 çemberinin teğetlik şartından rr'yi bulun. Ardından TT noktasının koordinatlarını bulup bu noktadaki teğet doğrusunun denklemini yazarak eksenleri kestiği noktaların uzaklığını hesaplayabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çemberde Teğet Özellikleri

More questions from this topic