Examkin

Question

Difficulty: MediumÇemberde Teğet Özellikleri

Bir dik açının kenarlarına teğet olan 12 cm12\text{ cm} yarıçaplı bir çember verilmiştir. Bu çemberin açının kenarları arasında kalan yayının üzerindeki bir TT noktasından çembere çizilen teğet doğrusu, açının kenarlarını AA ve BB noktalarında kesmektedir.

Buna göre, köşesi açının başlangıç noktası olan OABOAB üçgeninin çevresi kaç cm\text{cm}'dir?

  1. A
    12
  2. B
    18
  3. 24Answer
  4. D
    30
  5. E
    36

Answer

Dik açının kollarına teğet olan çemberin teğet özelliklerinden faydalanıldığında, oluşan dik üçgenin çevresi çemberin yarıçapının iki katına eşittir. Bu nedenle çevre uzunluğu 24 cm'dir.
Doğru cevap 24 cm'dir. Çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunluklarının eşit olması kuralına göre, üçgenin kenarları arasındaki bağıntılar yazılıp toplandığında bilinmeyen teğet parçaları birbirini götürür. Geriye kalan sabit terimlerin toplamı, çemberin yarıçapının iki katı olan 24 cm değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Teğet noktalarını belirleme
Çemberin dik açının kollarına teğet olduğu noktalar KK ve LL olsun. Başlangıç noktası OO olmak üzere, te��et kolları birbirine eşit olduğundan ∣OK∣=∣OL∣=r=12 cm|OK| = |OL| = r = 12\text{ cm} olur.
Çemberin merkezinden teğet noktalarına çizilen yarıçaplar diktir ve kollarda oluşan dörtgen bir karedir.
2
Dış noktadan çizilen teğetlerin eşitliği özelliğini kullanma
AA noktasından çembere çizilen teğetler için ∣AK∣=∣AT∣|AK| = |AT| ve BB noktasından çizilen teğetler için ∣BL∣=∣BT∣|BL| = |BT| eşitlikleri elde edilir.
Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçaların��n uzunlukları birbirine eşittir.
3
OABOAB üçgeninin kenar uzunluklarını ifade etme
∣OA∣=∣OK∣−∣AK∣=12−∣AT∣|OA| = |OK| - |AK| = 12 - |AT| ve ∣OB∣=∣OL∣−∣BL∣=12−∣BT∣|OB| = |OL| - |BL| = 12 - |BT| yazılır. Üçgenin hipotenüsü ise ∣AB∣=∣AT∣+∣BT∣|AB| = |AT| + |BT|'dir.
Üçgenin dik kenarları, teğet uzunluklarının tamamından dışarıda kalan teğet parçalarının çıkarılmasıyla elde edilir.
4
Çevre uzunluğunu hesaplama
Çevre (OAB)=∣OA∣+∣OB∣+∣AB∣=(12−∣AT∣)+(12−∣BT∣)+(∣AT∣+∣BT∣)=24 cm(OAB) = |OA| + |OB| + |AB| = (12 - |AT|) + (12 - |BT|) + (|AT| + |BT|) = 24\text{ cm} bulunur.
Kenar uzunlukları toplandığında ∣AT∣|AT| ve ∣BT∣|BT| terimleri birbirini sadeleştirir ve geriye sadece teğet uzunluklarının toplamı kalır.

Key Concept

Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunluklarının eşit olması özelliği.

Hints

1
Çemberin dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunluklarının eşit olduğunu hatırlayınız.
2
Açının kolları üzerindeki teğet noktalarına KK ve LL diyerek ∣AK∣=∣AT∣|AK| = |AT| ve ∣BL∣=∣BT∣|BL| = |BT| eşitliklerini yazınız.
3
∣OA∣=12−∣AT∣|OA| = 12 - |AT| ve ∣OB∣=12−∣BT∣|OB| = 12 - |BT| yazıp bu ifadeleri üçgenin çevre formülünde yerlerine yerleştirerek sadeleştirme yapınız.

Practice More

Aynı çemberde dik açı yerine 60 derecelik bir açı kullanılsaydı çevre ve teğet uzunlukları nasıl değişirdi?

Alternative Method

T noktasını çember üzerinde hareket ettirdiğimizi düşünebiliriz. Limit durumunda T noktası K veya L noktasına yaklaştıkça dik üçgenin bir köşesi teğet noktasına doğru kayar. T noktası K noktası üzerine geldiğinde A noktası K ile çakışır ve ∣OA∣=12|OA| = 12, ∣OB∣=12|OB| = 12, ∣AB∣=0|AB| = 0 olur. Bu uç durumda da çevre toplamı 12+12+0=24 cm12 + 12 + 0 = 24\text{ cm} olarak korunur.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Çemberde Teğet Özellikleri

More questions from this topic