Özel Tanımlı İşlemler Practice Questions — ALES — Page 2

Question 21Question →

1 ile 10 (1 ve 10 dahil) arasındaki tam sayılar kümesi üzerinde $\oplus$ ve $\otimes$ işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

* $x \oplus y$ : $x$ ile $y$ sayılarının oluşturduğu kapalı aralıktaki asal sayıların sayısıdır. (Örneğin; $3 \oplus 6$ ifadesi, $[3, 6]$ aralığındaki 3 ve 5 asal sayıları olmak üzere 2'ye eşittir.)
* $x \otimes y = (x \oplus y) \cdot |x - y|$

Buna göre, bu kümenin elemanı olan ve birbirinden farklı

a

ve

b

tam sayıları için

a \otimes b = 12

eşitliğini sağlayan kaç farklı

(a, b)

sıralı ikilisi vardır?

4

6

8

10

12

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Eşitliği sağlayan 8 farklı (a, b) sıralı ikilisi vardır.

Eşitliği sağlayan sıralı ikililer, aralarındaki fark 6 olan

[4, 10]

aralığından gelen 2 ikili ile aralarındaki fark 4 olan

[1, 5]

,

[2, 6]

,

[3, 7]

aralıklarından gelen 6 ikilinin toplamından oluşan 8 adet sıralı ikilidir.

Step-by-Step Solution

1

Tanımlanan işlemlerin matematiksel ifadesini yazma

a \otimes b = 12

eşitliği, kural gereği

(a \oplus b) \cdot |a - b| = 12

biçiminde ifade edilir.

Sorudaki özel tanımlı işlemleri temel cebirsel formüle dönüştürmek için.

2

Fark teriminin (

|a - b|

) alabileceği değer aralığını ve bölenlerini belirleme

a

ve

b

sayıları

\{1, 2, \dots, 10\}

kümesinin elemanları olduğundan, aralarındaki mutlak fark

|a - b|

en fazla

10 - 1 = 9

olabilir. Ayrıca,

(a \oplus b)

bir tam sayı olduğundan,

|a - b|

değeri 12'nin bir tam sayı böleni olmalıdır. Bu koşullara uyan olası farklar 1, 2, 3, 4 ve 6'dır.

Çözüm uzayını sınırlamak ve durumları tek tek analiz edebilmek için.

3

Farkın 6 olduğu durumları analiz etme

|a - b| = 6

ise

a \oplus b = 12 / 6 = 2

olmalıdır. Bu kümede aralarındaki fark 6 olan kapalı aralıklar:

[1, 7]

(4 asal),

[2, 8]

(4 asal),

[3, 9]

(3 asal) ve

[4, 10]

(2 asal: 5 ve 7). Yalnızca

[4, 10]

aralığı koşulu sağlar. Buradan

(4, 10)

ve

(10, 4)

olmak üzere 2 farklı sıralı ikili elde edilir.

Mesafe 6 iken koşulu sağlayan sayı çiftlerini belirlemek için.

4

Farkın 4 olduğu durumları analiz etme

|a - b| = 4

ise

a \oplus b = 12 / 4 = 3

olmalıdır. Kümede aralarındaki fark 4 olan kapalı aralıklar incelenir:

[1, 5]

(3 asal: 2, 3, 5 - sağlar),

[2, 6]

(3 asal: 2, 3, 5 - sağlar),

[3, 7]

(3 asal: 3, 5, 7 - sağlar),

[4, 8]

(2 asal - sağlamaz),

[5, 9]

(2 asal - sağlamaz) ve

[6, 10]

(1 asal - sağlamaz). Sağlayan 3 aralıktan sırasıyla

(1, 5), (5, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 7), (7, 3)

olmak üzere 6 farklı sıralı ikili elde edilir.

Mesafe 4 iken koşulu sağlayan sayı çiftlerini belirlemek için.

5

Kalan fark durumlarının elenmesi

-

|a - b| = 3

için

a \oplus b = 4

olmalıdır. Ancak bu kümede 4 elemanlı hiçbir kapalı aralıkta 4 asal sayı bulunamaz.
-

|a - b| = 2

için

a \oplus b = 6

olmalıdır. 3 elemanlı bir aralıkta en fazla 2 asal sayı bulunabilir.
-

|a - b| = 1

için

a \oplus b = 12

olmalıdır. 2 elemanlı bir aralıkta en fazla 2 asal sayı bulunabilir.
Bu nedenle diğer durumlardan çözüm gelmez.

Olası diğer tüm bölenleri eleyerek çözümün eksiksiz olduğunu garantilemek için.

6

Toplam sıralı ikili sayısını hesaplama

Farkı 6 olan durumlardan 2, farkı 4 olan durumlardan 6 ikili gelmektedir. Toplamda 2 + 6 = 8 farklı sıralı ikili bulunur.

Bulunan tüm durumların toplam sayısını elde etmek için.

Key Concept

Aralıkta asal sayı sayma kuralıyla birleştirilmiş özel tanımlı işlemler

Question 22Question →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $\diamond$ işlemi, her $a$ ve $b$ pozitif tam sayıları için

a \diamond b = \begin{cases} a^2 - 1, & b = 1 \text{ ise} \\ a^2 - b^2 + 2(a \diamond (b-1)), & b > 1 \text{ ise} \end{cases}

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, $a \diamond 4 = 77$ eşitliğini sağlayan $a$ pozitif tam sayısı kaçtır?

2

3

4

5

9

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

İşlem adımları sırasıyla uygulandığında elde edilen denklem çözülerek

a

sayısı 3 olarak bulunur.

Verilen tanımlar adım adım yerine yazıldığında

a \diamond 4 = 15a^2 - 58

elde edilir. Bu ifade 77'ye eşitlendiğinde

15a^2 = 135

ve buradan

a^2 = 9

bulunur.

a

pozitif bir tam sayı olduğundan, karesi 9 olan sayı 3'tür.

Step-by-Step Solution

1

Tanımdan yola çıkarak

b = 1

için

a \diamond 1

değerini

a

cinsinden yazın.

a \diamond 1 = a^2 - 1

Taban durumunu belirlemek ve bir sonraki adımlarda kullanmak için.

2

b = 2

için

a \diamond 2

ifadesini yazıp adım 1'de bulduğunuz değeri yerine koyun.

a \diamond 2 = a^2 - 4 + 2(a^2 - 1) = 3a^2 - 6

Tanımlanan yinelemeli (rekürsif) ilişkiyi bir adım ileri taşımak için.

3

b = 3

için

a \diamond 3

ifadesini yazıp adım 2'de bulduğunuz değeri yerine koyun.

a \diamond 3 = a^2 - 9 + 2(3a^2 - 6) = 7a^2 - 21

Yineleme kuralını üçüncü adım için uygulamak.

4

b = 4

için

a \diamond 4

ifadesini yazıp adım 3'te bulduğunuz değeri yerine koyun.

a \diamond 4 = a^2 - 16 + 2(7a^2 - 21) = 15a^2 - 58

Soruda istenen

a \diamond 4

değerini veren

a

cinsinden cebirsel ifadeyi elde etmek.

5

Elde edilen

15a^2 - 58

ifadesini soruda verilen 77 değerine eşitleyip denklemi çözün.

15a^2 - 58 = 77 \implies 15a^2 = 135 \implies a^2 = 9 \implies a = 3

a

'nın pozitif tam sayı değerini bulmak.

Key Concept

Yinelemeli (rekürsif) özel tanımlı işlemleri adım adım açarak cebirsel denklemler elde etme ve çözme.

Question 23Question →

İki basamaklı bir

AB

doğal sayısı için

\square

ve

\bigcirc

işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

\square(AB) = A^2 + B

\bigcirc(AB) = A + B^2

Buna göre,

\square(AB) - \bigcirc(AB) = 14

eşitliğini sağlayan iki basamaklı

AB

doğal sayılarının toplamı kaçtır?

113

128

140

152

192

Show answer & explanation

Answer: 140

Answer

Koşulları sağlayan iki basamaklı

AB

doğal sayılarının toplamı 140'tır.

Doğru yanıt olan 140 değeri, özel işlem tanımları uygulandığında elde edilen

(A-B)(A+B-1) = 14

denkleminin rakamlar kümesindeki çözümleri olan 53 ve 87 sayılarının toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1

Tanımlanan

\square(AB)

ve

\bigcirc(AB)

işlemlerini verilen eşitlikte yerine yazalım.

(A^2 + B) - (A + B^2) = 14 \implies A^2 - B^2 - A + B = 14

denklemi elde edilir.

Soruda verilen özel işlemleri cebirsel bir denkleme dönüştürmek için.

2

Elde edilen denklemdeki terimleri gruplandırarak çarpanlara ayıralım.

(A^2 - B^2) - (A - B) = 14 \implies (A - B)(A + B) - (A - B) = 14 \implies (A - B)(A + B - 1) = 14

ifadesine ulaşılır.

İki kare farkı özdeşliğini ve ortak çarpan parantezine alma yöntemini kullanarak denklem analizini kolaylaştırmak için.

3

A

ve

B

birer rakam ve

A \neq 0

(çünkü

AB

iki basamaklıdır) olduğundan çarpanların pozitif tam sayı olması gerektiğini belirleyip durumları inceleyelim.

A - B

ve

A + B - 1

çarpanları pozitif olmalıdır.

14

sayısının pozitif tam sayı çarpan çiftleri

(1, 14)

ve

(2, 7)

şeklindedir.

Rakam olma ve iki basamaklılık koşullarına göre olası değer aralıklarını sınırlandırmak için.

4

Belirlenen çarpan çiftleri için denklem sistemlerini çözelim.

1. durum:

A - B = 2

ve

A + B - 1 = 7 \implies A + B = 8

olur. Taraf tarafa toplanırsa

2A = 10 \implies A = 5

ve

B = 3

bulunur (Sayı

53

). 2. durum:

A - B = 1

ve

A + B - 1 = 14 \implies A + B = 15

olur. Taraf tarafa toplanırsa

2A = 16 \implies A = 8

ve

B = 7

bulunur (Sayı

87

).

Her bir durumdan elde edilen

A

ve

B

değerlerinin rakam olma koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol ederek çözümleri bulmak için.

5

Bulunan

AB

sayılarının toplamını hesaplayalım.

53 + 87 = 140

elde edilir.

Soruda bizden istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Özel tanımlı işlemler ve iki kare farkı yardımıyla denklem çözümü

Alternative Method

Denklem çözümü yerine rakam çiftleri doğrudan

\square(AB) - \bigcirc(AB) = A^2 - B^2 - A + B = 14

denkleminde denenebilir. Örneğin,

A

değerine büyük rakamlar verilerek

B

değerleri araştırılır.

A=8

için

64 - B^2 - 8 + B = 14 \implies 42 = B(B-1) \implies B=7

bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 24Question →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı $\triangle$ işlemi, her $n$ pozitif tam sayısı için aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

\triangle(n) = \begin{cases} 2n + 1, & n \text{ tek ise} \\ \frac{n}{2} + 3, & n \text{ çift ise} \end{cases}

Buna göre, $\triangle(5) + \triangle(8)$ işleminin sonucu kaçtır?

15

18

19

27

28

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

18

Soruda verilen işlemde 5 tek sayı olduğundan ilk formül uygulanarak 11 sayısı elde edilir. 8 çift sayı olduğundan ikinci formül uygulanarak 7 sayısı elde edilir. Bu iki sonucun toplamı 18 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1

5 sayısının tek veya çift olduğunu belirleyip ilgili formülü uygulayalım.

5 sayısı tek sayı olduğundan, \triangle(n) = 2n + 1 formülü kullanılır: \triangle(5) = 2 \times 5 + 1 = 11 elde edilir.

Tanımlanan işlemde tek sayılar için ilk koşul geçerlidir.

2

8 sayısının tek veya çift olduğunu belirleyip ilgili formülü uygulayalım.

8 sayısı çift sayı olduğundan, \triangle(n) = \frac{n}{2} + 3 formülü kullanılır: \triangle(8) = \frac{8}{2} + 3 = 4 + 3 = 7 elde edilir.

Tanımlanan işlemde çift sayılar için ikinci koşul geçerlidir.

3

Elde edilen sonuçları toplayalım.

\triangle(5) + \triangle(8) = 11 + 7 = 18 bulunur.

Soruda bizden bu iki işlemin sonuçlarının toplamı istenmektedir.

Key Concept

Koşula bağlı olarak tanımlanmış özel matematiksel operatörleri sırasıyla ve doğru kuralları takip ederek uygulama.

Hints

1

İşlemdeki sayıların (5 ve 8) tek mi yoksa çift mi olduğuna dikkat ederek hangisi için hangi kuralın geçerli olduğunu belirleyin.

2

5 tek sayı olduğu için üstteki formülü, 8 çift sayı olduğu için alttaki formülü kullanarak ayrı ayrı sonuçları hesaplayın.

Practice More

Benzer şekilde, üç farklı koşula bağlı olarak tanımlanan tek/çift/asal sayı durumlarını içeren özel tanımlı işlem sorularını inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 25Question →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde $\otimes$ ve $\oplus$ işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

a \otimes b = a^2 - b

a \oplus b = 2a + b

Buna göre,

(x \otimes 3) \oplus 5 = 17

eşitliğini sağlayan

x

pozitif tam sayısı kaçtır?

1

2

3

4

5

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Eşitliği sağlayan

x

pozitif tam sayısı 3'tür.

Verilen işlemlere göre

(x \otimes 3) \oplus 5 = 17

ifadesinde önce dıştaki işlem çözülür. Geçici olarak

u = x \otimes 3

dersek,

2u + 5 = 17 \implies u = 6

olur. Buradan

x \otimes 3 = 6

denklemi elde edilir. İlk işlemin tanımına göre

x^2 - 3 = 6 \implies x^2 = 9

olur.

x

pozitif tam sayı olduğu için

x = 3

bulunur. Bu nedenle 3 değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Parantez içindeki

x \otimes 3

ifadesine geçici bir değişken atayalım.

u = x \otimes 3

olsun. Bu durumda denklem

u \oplus 5 = 17

şekline dönüşür.

İki aşamalı işlemi daha kolay çözebilmek ve işlem sırasını doğru takip edebilmek için dıştaki işlemden başlanır.

2

u \oplus 5 = 17

denklemini

\oplus

işleminin tanımını kullanarak çözelim.

2u + 5 = 17 \implies 2u = 12 \implies u = 6

bulunur.

a \oplus b = 2a + b

tanımında

a

yerine

u

,

b

yerine

5

yazılarak

u

değeri elde edilir.

3

u = 6

değerini yerine koyarak

x \otimes 3 = 6

denklemini çözelim.

x^2 - 3 = 6 \implies x^2 = 9 \implies x = 3

(çünkü

x

pozitif bir tam sayıdır) bulunur.

a \otimes b = a^2 - b

tanımında

a

yerine

x

,

b

yerine

3

yazılıp denklem çözülerek sonuca ulaşılır.

Key Concept

İki farklı özel tanımlı işlemin iç içe uygulanması ve bilinmeyen girdinin geriye doğru işlem (ters işlem) yapılarak bulunması.

Question 26Question →

Her

x

ve

y

gerçel sayısı için

\odot

ve

\otimes

işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

x \odot y = 2x - y + 1

x \otimes y = \begin{cases} x \odot y, & x \geq y \\ y \odot x, & x < y \end{cases}

Buna göre,

(3 \otimes a) \otimes 2 = 13

eşitliğini sağlayan

a

gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

0

\frac{3}{2}

\frac{9}{2}

\frac{33}{2}

\frac{39}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{9}{2}$

Answer

\frac{9}{2}

Verilen eşitlikte

(3 \otimes a) = k

dönüşümü yapıldığında

k \otimes 2 = 13

denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü için

k \geq 2

ve

k < 2

durumları incelenir. İlk durumdan

k = 7

(koşula uygun), ikinci durumdan

k = -8

(koşula uygun) bulunur. Ardından

3 \otimes a = 7

denklemi çözüldüğünde

3 \geq a

durumundan

a = 0

,

3 < a

durumundan

a = 4,5

bulunur ve her iki değer de tanımlı oldukları koşulları sağlar. Son olarak

3 \otimes a = -8

denklemi çözüldüğünde elde edilen

a = 15

ve

a = -3

değerleri, tanımlı oldukları aralık koşullarını sağlamadıkları için elenir. Dolayısıyla denklemi sağlayan geçerli değerlerin toplamı sıfır ile dört buçuğun toplamından dokuz bölü iki olur.

Step-by-Step Solution

1

(3 \otimes a) \otimes 2 = 13

denkleminde

3 \otimes a = k

dönüşümü uygulanır.

k \otimes 2 = 13

denklemi elde edilir.

Dıştaki işlemden başlayarak değişkeni yalnız bırakmak.

2

k \otimes 2 = 13

denklemi,

\otimes

işleminin tanımına göre

k \geq 2

ve

k < 2

durumları için ayrı ayrı çözülür.

k \geq 2

için

k \odot 2 = 2k - 1 = 13 \Rightarrow k = 7

(koşulu sağlar).

k < 2

için

2 \odot k = 5 - k = 13 \Rightarrow k = -8

(koşulu sağlar).

Parçalı tanımın sınır değerlerini kontrol ederek olası ara değerleri bulmak.

3

3 \otimes a = 7

denklemi

3 \geq a

ve

3 < a

durumlarına göre çözülür.

3 \geq a

için

3 \odot a = 7 - a = 7 \Rightarrow a = 0

(koşulu sağlar).

3 < a

için

a \odot 3 = 2a - 2 = 7 \Rightarrow a = 4,5

(koşulu sağlar).

İlk ara değer için geçerli kökleri belirlemek.

4

3 \otimes a = -8

denklemi

3 \geq a

ve

3 < a

durumlarına göre çözülür ve sınır şartları denetlenir.

3 \geq a

için

7 - a = -8 \Rightarrow a = 15

(

15 \leq 3

olmadığı için geçersizdir).

3 < a

için

2a - 2 = -8 \Rightarrow a = -3

(

-3 > 3

olmadığı için geçersizdir).

İkinci ara değerden gelen köklerin tanımlı oldukları aralıkta kalıp kalmadığını kontrol etmek.

5

Koşulları sağlayan geçerli

a

değerleri (

0

ve

4,5

) toplanır.

0 + 4,5 = 4,5

yani

\frac{9}{2}

bulunur.

Soruda istenen toplam sonucuna ulaşmak.

Key Concept

Parçalı tanımlı özel işlemlerde sınır koşullarının ve eşitsizliklerin çözüm kümesi üzerindeki belirleyici etkisi.

Estimated Time:2m 30s

Özel Tanımlı İşlemler

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes