Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Sayma)
xx ve yy birer doğal sayı olmak üzere,
x!=132⋅y! x! = 132 \cdot y!

eşitliğini sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?
  1. A
    12
  2. B
    132
  3. C
    143
  4. 144Answer
  5. E
    156

Answer

Eşitliği sağlayan x değerleri 132 ve 12 olduğundan, bu değerlerin toplamı 144'tür.
Verilen eşitlik x!y!=132\frac{x!}{y!} = 132 şeklinde yazıldığında, bu oranın ardışık sayıların çarpımı olması gerekir. 132 sayısı iki farklı şekilde ardışık sayıların çarpımı olarak ifade edilebilir: Birincisi sayının kendisi yani 132 (bu durumda x=132,y=131x=132, y=131), ikincisi ise 12⋅1112 \cdot 11 (bu durumda x=12,y=10x=12, y=10). Bu iki durumdan elde edilen xx değerlerinin toplamı 132+12=144132 + 12 = 144 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği faktöriyel tanımını kullanarak oran şeklinde düzenle.
x!y!=132\frac{x!}{y!} = 132
Bu ifade, xx sayısından geriye doğru y+1y+1'e kadar olan ardışık sayıların çarpımının 132 olduğunu gösterir.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki sayıyı (132) ardışık sayıların çarpımı olarak ifade edebilecek durumları incele.
Durum 1: Tek terimli çarpım (132132). Durum 2: İki terimli çarpım (12⋅1112 \cdot 11).
Faktöriyel sadeleştirmelerinde x!y!=x⋅(x−1)⋯(y+1)\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdots (y+1) olduğu için 132 sayısı ardışık çarpanlara ayrılmalıdır.
3
Durum 1 için (tek terimli çarpım) x değerini bul.
x!y!=132  ⟹  x=132\frac{x!}{y!} = 132 \implies x = 132 ve y=131y = 131. Bu durumda x1=132x_1 = 132 olur.
Her nn doğal sayısı için n!(n−1)!=n\frac{n!}{(n-1)!} = n eşitliği daima sağlanır.
4
Durum 2 için (ardışık iki terimli çarpım) x değerini bul.
132=12⋅11132 = 12 \cdot 11 olduğundan, x!y!=12⋅11  ⟹  x=12\frac{x!}{y!} = 12 \cdot 11 \implies x = 12 ve y=10y = 10. Bu durumda x2=12x_2 = 12 olur.
132 sayısı 12⋅1112 \cdot 11 şeklinde ardışık iki sayının çarpımı olarak yazılabilir.
5
Başka ardışık çarpım durumu olup olmadığını kontrol et ve bulunan x değerlerini topla.
Ardışık üç sayının çarpımı 6⋅5⋅4=1206 \cdot 5 \cdot 4 = 120 ve 7⋅6⋅5=2107 \cdot 6 \cdot 5 = 210 olduğundan başka çözüm yoktur. Toplam: 132+12=144132 + 12 = 144.
132 sayısını veren başka ardışık sayı dizisi bulunmamaktadır.

Key Concept

Faktöriyel içeren eşitliklerde, ifade x!y!\frac{x!}{y!} formuna getirilerek ardışık sayıların çarpımı olarak analiz edilmelidir.

Hints

1
Verilen eşitliği x!y!=132\frac{x!}{y!} = 132 şeklinde düzenleyerek düşünmeye başlayın.
2
x!y!\frac{x!}{y!} ifadesi, y+1y+1'den xx'e kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımına eşittir. 132 sayısını ardışık sayıların çarpımı olarak kaç farklı şekilde yazabilirsiniz?
3
Bir sayı her zaman kendisi olarak (tek terimli ardışık dizi) yazılabilir (x=132x=132). Ayrıca 132 sayısını A⋅(A−1)A \cdot (A-1) şeklinde ardışık iki sayının çarpımı olarak yazıp yazamayacağınızı kontrol edin.

Alternative Method

Deneme yanılma yerine 132 sayısının asal çarpanlarını (22⋅3⋅112^2 \cdot 3 \cdot 11) inceleyerek ardışık gruplar oluşturulabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Sayma)

More questions from this topic