Examkin

Faktöriyel (Sayma)

33 questions

Question 1Question →

nn ve mm birer pozitif tam sayı olmak üzere,

10!+11!=2n⋅m10! + 11! = 2^n \cdot m


eşitliğinde mm bir tek sayı olduğuna göre, nn kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Verilen eşitlikteki n değeri 10'dur.
Verilen ifade 10!⋅(1+11)=10!⋅1210! \cdot (1 + 11) = 10! \cdot 12 şeklinde yazıldığında, 10!10! içinden ardışık bölme yöntemiyle 8 tane, 12 sayısından ise 222^2 olduğu için 2 tane 2 çarpanı gelir. Toplam 10 adet 2 çarpanı dışarı çıkarıldığında geriye kalan tüm çarpanlar tek sayı olur, bu da mm sayısının tek olmasını sağlar.

Step-by-Step Solution

1
İfadeyi ortak çarpan parantezine alın.
10!+11!=10!+11⋅10!=10!(1+11)=10!⋅1210! + 11! = 10! + 11 \cdot 10! = 10!(1 + 11) = 10! \cdot 12
İşlemi basitleştirmek ve çarpanları net görmek için en küçük faktöriyel parantezine alınır.
2
10!10! içerisindeki 2 çarpanı sayısını Legendre formülü ile bulun.
10/2=510/2 = 5; 5/2=25/2 = 2; 2/2=12/2 = 1. Toplam: 5+2+1=85 + 2 + 1 = 8.
Bir faktöriyel içindeki asal çarpan sayısını bulmak için sayı sürekli o asala bölünür ve bölümler toplanır.
3
1212 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
12=4⋅3=22⋅312 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3
Toplam ifadesinden gelen sabit sayının içindeki 2 çarpanlarını belirlemek gerekir.
4
Toplam 2 çarpanı sayısını hesaplayın.
282^8 (10!10! içinden) ve 222^2 (1212 içinden) ⇒8+2=10\Rightarrow 8 + 2 = 10
m sayısının tek olması için ifadedeki tüm 2 çarpanlarının 2n2^n içerisinde toplanması gerekir.

Key Concept

Faktöriyel içeren toplamlı ifadelerde ortak paranteze alma ve Legendre (ardışık bölme) yöntemi ile asal çarpan sayısını bulma.

Hints

1
Toplama halindeki faktöriyelli ifadelerde işlem yapabilmek için ifadeyi küçük olanın parantezine alarak çarpım durumuna getirmelisiniz.
2
10!+11!=10!(1+11)=10!⋅1210! + 11! = 10!(1 + 11) = 10! \cdot 12 olduğunu gördükten sonra, hem 10!10! hem de 1212 içindeki 2 çarpanlarını ayrı ayrı hesaplayın.
3
n!n! sayısının içindeki asal bir pp çarpanının sayısını bulmak için nn sayısını pp ile bölün ve bölümleri (bölüm pp den küçük olana kadar) toplayın. Son olarak 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3 bilgisini kullanın.

Practice More

Benzer bir mantıkla (20!+21!)(20! + 21!) sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmaya çalışın.

Alternative Method

Alternatif olarak, sayıları tek tek analiz edebilirsiniz: 10! içinde 2, 4(2^2), 6(2), 8(2^3), 10(2) sayıları vardır (8 adet 2). 12 sayısı ise 4*3 olduğundan 2 tane 2 içerir. Toplam 8 + 2 = 10 olur.
Estimated Time:1m 30s
Question 2Question →
xx ve yy birer doğal sayı olmak üzere,
x!=72⋅y!x! = 72 \cdot y!

eşitliği veriliyor.

Buna göre, yy'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 78

Answer

y'nin alabileceği değerler 7 ve 71 olup, toplamları 78'dir.
Verilen eşitlik x!y!=72\frac{x!}{y!} = 72 olarak düşünüldüğünde, bu oran ardışık sayıların çarpımı olmalıdır. 72 sayısı ya tek başına 72 olarak (bu durumda y=71y=71) ya da 9⋅89 \cdot 8 olarak (bu durumda y=7y=7) ifade edilebilir. Bu iki durumun toplamı 78'dir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği faktöriyel tanımını kullanarak düzenle.
x!y!=72 \frac{x!}{y!} = 72
Bu ifade, xx'ten başlayarak geriye doğru y+1y+1'e kadar olan ardışık sayıların çarpımının 7272 olduğunu gösterir.
Faktöriyel sadeleştirmesinde büyük faktöriyel, küçük faktöriyele benzetilerek açılır.
2
Çarpımın tek bir terimden oluştuğu durumu (Trivial Durum) incele.
Eğer çarpım tek sayı ise, x=72x = 72 olur. Bu durumda eşitlik
72!=72⋅71!72! = 72 \cdot 71!
şeklinde sağlanır. Buradan
y=71y = 71
bulunur.
Her n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! kuralı gereği, sayı kendisi ile bir eksiğinin faktöriyelinin çarpımıdır.
3
Çarpımın ardışık iki sayının çarpımı olduğu durumu incele.
7272 sayısı ardışık iki sayının çarpımı olarak
9⋅8=729 \cdot 8 = 72
şeklinde yazılabilir. Bu durumda x=9x=9 olur. İfade
9!=9⋅8⋅7!9! = 9 \cdot 8 \cdot 7!
şeklinde düzenlenirse,
9!=72⋅7!9! = 72 \cdot 7!
elde edilir. Buradan
y=7y = 7
bulunur.
x!/y!x! / y! ifadesi ardışık sayıların çarpımıdır.
4
Bulunan değerleri topla.
71+7=7871 + 7 = 78
Soruda yy'nin alabileceği değerlerin toplamı istenmektedir.

Key Concept

Faktöriyel kavramında n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! ve n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)!n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)! gibi indirgeme özelliklerinin kullanımı.

Hints

1
Eşitliği x!y!=72\frac{x!}{y!} = 72 şeklinde yazarak düşünün.
2
Faktöriyel sadeleştirmesinde sonucun (7272'nin) ardışık sayıların çarpımı olması gerekir.
3
72 sayısı kendisi (7272) olarak veya iki ardışık sayının çarpımı (9⋅89 \cdot 8) olarak düşünülebilir.

Practice More

Benzer mantıkla x!=210⋅y!x! = 210 \cdot y! eşitliğinde yy'nin alabileceği değerleri bulunuz (210=210210 = 210, 15⋅1415 \cdot 14, 7⋅6⋅57 \cdot 6 \cdot 5 durumları).
Estimated Time:1m 30s
Question 3Question →

Matematikte n!n! ifadesi, 11’den nn’ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımını ifade eder. Bu tanıma göre 0!=10! = 1 olarak kabul edilmektedir.

Buna göre,
4!+3!0!+2!\frac{4! + 3!}{0! + 2!}


işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İşlemin sonucu 10'dur.
Doğru cevap, 4!4! (24) ve 3!3! (6) değerlerinin toplamı olan 30'un, 0!0! (1) ve 2!2! (2) değerlerinin toplamı olan 3'e bölünmesiyle elde edilen 10 sayısıdır.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki faktöriyel değerlerini hesapla.
4!=1×2×3×4=244! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24 ve 3!=1×2×3=63! = 1 \times 2 \times 3 = 6
Faktöriyel tanımı gereği sayıların 1'den kendisine kadar olan çarpımı alınır.
2
Payda kısmındaki faktöriyel değerlerini hesapla.
0!=10! = 1 ve 2!=1×2=22! = 1 \times 2 = 2
0!0! tanım gereği 1'dir ve 2!2! için çarpma kuralı uygulanır.
3
Toplama işlemlerini gerçekleştir.
Pay: 24+6=3024 + 6 = 30, Payda: 1+2=31 + 2 = 3
Kesir çizgisinin üst ve altındaki işlemler bölmeden önce sonuçlandırılmalıdır.
4
Son bölme işlemini yap.
30/3=1030 / 3 = 10
Elde edilen pay değeri payda değerine bölünür.

Key Concept

Faktöriyel tanımı ve temel işlemleri

Hints

1
Faktöriyel değerlerini tek tek hesaplayarak başlayın: 4!, 3!, 2! ve 0!.
2
0!0! değerinin her zaman 1 olduğunu hatırlayın.
3
4!=244! = 24 ve 3!=63! = 6 değerlerini topladıktan sonra, paydadaki 1+2=31+2=3 değerine bölün.

Practice More

0! ile başlayan faktöriyel toplamlarının birler basamağı ile ilgili sorulara göz atabilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 4Question →
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
14!⋅x=y2 14! \cdot x = y^2

eşitliği verilmiştir. Buna göre, xx'in alabileceği en küçük değerin rakamları toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

Rakamları toplamı 21 olan sayı
Verilen eşitlikte 14!⋅x14! \cdot x ifadesinin bir tam kare (y2y^2) olması istenmektedir. Bir sayının tam kare olabilmesi için asal çarpanlarına ayrıldığında tüm asal çarpanların üslerinin çift sayı olması gerekir. 14!14!'in asal çarpanları incelendiğinde 2112^{11}, 353^5, 11111^1 ve 13113^1 üslerinin tek olduğu görülür. Bu üsleri çift yapmak için xx sayısı en az 2⋅3⋅11⋅13=8582 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13 = 858 olmalıdır. Bu sayının rakamları toplamı 8+5+8=218+5+8=21 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
14! sayısının asal çarpanlarını ve kuvvetlerini belirle.
14!=211⋅35⋅52⋅72⋅111⋅13114! = 2^{11} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot 11^1 \cdot 13^1
Bir sayının tam kare olabilmesi için asal çarpanlarının üsleri çift sayı olmalıdır.
2
Üssü tek olan asal çarpanları tespit et.
Üssü tek olanlar: 211(2),35(3),111(11),131(13)2^{11} (2), 3^5 (3), 11^1 (11), 13^1 (13)
Bu çarpanların üslerini çift yapmak için en az birer tane daha gereklidir.
3
x sayısını oluşturmak için eksik çarpanları çarp.
x=21⋅31⋅111⋅131=858x = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 11^1 \cdot 13^1 = 858
En küçük x değeri için sadece zorunlu çarpanlar alınır.
4
Bulunan x sayısının rakamlarını topla.
8+5+8=218 + 5 + 8 = 21
Soruda istenen sonuç rakamlar toplamıdır.

Key Concept

Tam Kare Özelliği ve Asal Çarpanlara Ayırma

Hints

1
Bir sayının tam kare olabilmesi için, asal çarpanlarına ayrılmış halinde tüm üslerin çift sayı olması gerekir.
2
14! sayısını asal çarpanlarına ayırarak her bir asal sayının kuvvetini bulun (örneğin 2 kaç kere var?).
3
Kuvveti tek sayı olan asal çarpanları belirleyin. x sayısı bu çarpanların çarpımına eşit olmalıdır.

Practice More

Benzer mantıkla, bir faktöriyel ifadesinin tam küp olması için gereken en küçük çarpanı bulunuz.

Alternative Method

Legendre formülü kullanarak her asal çarpanın kuvvetini (Ep(n!)=∑⌊n/pk⌋E_p(n!) = \sum \lfloor n/p^k \rfloor) hesaplayıp, tek kalanları belirleyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 5Question →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
A=22!+23!2n A = \frac{22! + 23!}{2^n}

ifadesi bir tam sayı belirttiğine göre, nn'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

En büyük değer 22'dir.
Verilen AA ifadesi bir tam sayı ise, paydadaki 2n2^n sayısı paydaki ifadenin içindeki 2 çarpanlarını sadeleştirebilmelidir. Bu yüzden paydaki ifadenin içinde kaç tane 2 çarpanı olduğunu bulmalıyız. Öncelikle 22!+23!22! + 23! ifadesi 22!22! parantezine alınarak 22!(1+23)=22!⋅2422!(1+23) = 22! \cdot 24 elde edilir. 22! içindeki 2 çarpanı sayısı 19'dur. 24 sayısı da 23⋅32^3 \cdot 3 olduğundan buradan 3 adet daha 2 çarpanı gelir. Toplamda 19+3=2219+3=22 adet 2 çarpanı vardır. Dolayısıyla nn en çok 22 olabilir.

Step-by-Step Solution

1
İfadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenle.
22!+23!=22!⋅(1+23)=22!⋅2422! + 23! = 22! \cdot (1 + 23) = 22! \cdot 24
Faktöriyelli ifadelerde toplama işlemi yapabilmek için en küçük faktöriyel parantezine alınır.
2
Elde edilen katsayıyı asal çarpanlarına ayır.
24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3
Çarpan sayısını bulmak için katsayının içindeki 2 çarpanlarını belirlememiz gerekir. Buradan 3 adet 2 çarpanı gelir.
3
22! sayısı içindeki 2 çarpanlarının sayısını Legendre formülü (sürekli bölme) ile hesapla.
⌊222⌋+⌊224⌋+⌊228⌋+⌊2216⌋=11+5+2+1=19\lfloor\frac{22}{2}\rfloor + \lfloor\frac{22}{4}\rfloor + \lfloor\frac{22}{8}\rfloor + \lfloor\frac{22}{16}\rfloor = 11 + 5 + 2 + 1 = 19
Faktöriyel içindeki bir asal çarpanın sayısını bulmak için sayı o asala sürekli bölünür ve bölümler toplanır.
4
Tüm 2 çarpanlarını topla.
Toplam = 1919 (faktöriyelden) + 33 (katsayıdan) = 2222
İfadenin bir tam sayı olması için nn en fazla toplam 2 çarpanı sayısı kadar olabilir.

Key Concept

Faktöriyel ve Asal Çarpanlara Ayırma (Legendre Formülü)

Hints

1
İfadeyi 22!22! parantezine alarak sadeleştirmeyi deneyin.
2
22!+23!=22!⋅(1+23)=24⋅22!22! + 23! = 22! \cdot (1 + 23) = 24 \cdot 22! eşitliğini kullanın.
3
Hem 22!22! içindeki hem de çarpan olarak gelen 2424 sayısının içindeki 2 çarpanlarının sayısını bulup toplayın.
Estimated Time:2m 30s
Question 6Question →

Aşağıda verilen işlemin sonucu kaçtır?

5!+3!3!+0! \frac{5! + 3!}{3! + 0!}
Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

İşlemin sonucu 18 olarak bulunur.
Verilen ifadede faktöriyel değerleri hesaplandığında 5!=1205! = 120, 3!=63! = 6 ve 0!=10! = 1 elde edilir. Bu değerler yerlerine konulduğunda pay kısmı 120+6=126120 + 6 = 126, payda kısmı ise 6+1=76 + 1 = 7 olur. Son aşamada 126/7126 / 7 işlemi yapıldığında sonuç 18 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İfadede yer alan faktöriyel değerlerini hesaplayın.
5!=1205! = 120, 3!=63! = 6 ve 0!=10! = 1
Faktöriyel tanımına göre n!n!, 1'den n'ye kadar olan sayıların çarpımıdır ve 0!=10! = 1 olarak kabul edilir.
2
Hesaplanan değerleri kesirdeki yerlerine yazarak pay ve payda işlemlerini yapın.
Pay: 120+6=126120 + 6 = 126, Payda: 6+1=76 + 1 = 7
Kesirli ifadelerde bölme işleminden önce pay ve paydadaki toplama/çıkarma işlemleri tamamlanmalıdır.
3
Payı paydaya bölerek sonucu bulun.
126/7=18126 / 7 = 18
Kesir çizgisi bölme işlemini ifade eder.

Key Concept

Faktöriyel Tanımı ve Temel Aritmetik İşlemler

Hints

1
İşleme başlamadan önce 5!5!, 3!3! ve 0!0! ifadelerinin sayısal değerlerini ayrı ayrı belirleyin.
2
5!=1205! = 120, 3!=63! = 6 ve en önemlisi 0!=10! = 1 olduğunu hatırlayarak kesri yeniden yazın.
3
Kesrin üst kısmını 126, alt kısmını ise 7 olarak bulmalısınız. Şimdi bu iki sayıyı birbirine bölün.

Practice More

0! ve 1! değerlerinin ikisinin de 1 olduğunu pekiştirmek için benzer bir çıkarma işlemi sorusu çözebilirsiniz.

Alternative Method

Pay kısmındaki ifadeyi 3!3! parantezine alarak da sadeleştirme yapabilirsiniz: 3!×(5×4+1)/(3!+0!)3! \times (5 \times 4 + 1) / (3! + 0!). Ancak küçük sayılarla doğrudan hesaplama yapmak bu seviyede daha az hata riski taşır.
Estimated Time:45s
Question 7Question →

nn bir doğal sayı olmak üzere,

(n+1)!−n!(n−1)!+(n−2)!=30\frac{(n+1)! - n!}{(n-1)! + (n-2)!} = 30


eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 6'dır.
Verilen eşitlikte faktöriyel tanımları kullanılarak paranteze alma işlemi yapıldığında ifade n(n−1)=30n(n-1) = 30 haline gelir. Ardışık iki doğal sayının çarpımı 30 olduğunda büyük olan sayı (n) 6 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki faktöriyel ifadelerini, kendi içlerindeki en küçük faktöriyel parantezine alacak şekilde düzenle.
Pay: n!(n+1)−n!=n!(n+1−1)=n⋅n!n!(n+1) - n! = n!(n+1-1) = n \cdot n!
Payda: (n−1)!+(n−2)!=(n−2)!(n−1)+(n−2)!=(n−2)!(n−1+1)=n⋅(n−2)!(n-1)! + (n-2)! = (n-2)!(n-1) + (n-2)! = (n-2)!(n-1+1) = n \cdot (n-2)!
Faktöriyelli ifadelerde toplama/çıkarma yapabilmek için ortak çarpan parantezine almak gerekir.
2
Elde edilen ifadeleri kesirde yerine yaz ve sadeleştir.
n⋅n!n⋅(n−2)!=30  ⟹  n!(n−2)!=30\frac{n \cdot n!}{n \cdot (n-2)!} = 30 \implies \frac{n!}{(n-2)!} = 30
Pay ve paydadaki 'n' çarpanları birbirini götürür.
3
Kalan faktöriyelli ifadeyi açarak denklemi çöz.
n(n−1)(n−2)!(n−2)!=30  ⟹  n(n−1)=30\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!} = 30 \implies n(n-1) = 30
n!n!, (n−2)!(n-2)! cinsinden yazılarak sadeleştirilir.
4
Ardışık iki sayının çarpımı 30 olan n değerini bul.
6×5=306 \times 5 = 30 olduğu için n=6n = 6 bulunur.
n bir doğal sayı olduğu için pozitif çarpan dikkate alınır.

Key Concept

Faktöriyel kavramında sadeleştirme işlemi, büyük olan sayının küçüğe benzetilerek açılması (örneğin n!=n(n−1)!n! = n(n-1)!) prensibine dayanır.

Hints

1
Faktöriyelli ifadeleri toplamak veya çıkarmak için, en küçük faktöriyel parantezine almayı deneyin.
2
(n+1)!=(n+1)⋅n!(n+1)! = (n+1) \cdot n! ve (n−1)!=(n−1)⋅(n−2)!(n-1)! = (n-1) \cdot (n-2)! eşitliklerini kullanarak pay ve paydayı düzenleyin.
3
Sadeleştirmeler sonucunda n(n−1)=30n(n-1) = 30 denklemini elde edeceksiniz.

Practice More

Benzer mantıkla, paydasında bilinmeyen bulunan (n+2)! / (n)! = 72 gibi sorular çözülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 8Question →
xx ve yy birer doğal sayı olmak üzere,
x!y!=720 \frac{x!}{y!} = 720

eşitliğini sağlayan kaç farklı (x,y)(x, y) sıralı ikilisi vardır?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Eşitliği sağlayan 4 farklı (x,y)(x, y) ikilisi vardır.
Verilen eşitlikte x!/y!x!/y!, xx'ten y+1y+1'e kadar olan ardışık sayıların çarpımıdır. 720 sayısını veren ardışık çarpımlar incelendiğinde; tek terim olarak 720720 (yani 720!/719!720!/719!), üç terim olarak 10⋅9⋅810 \cdot 9 \cdot 8 (yani 10!/7!10!/7!) ve tam faktöriyel olarak 6!6! (yani 6!/1!6!/1! ve 6!/0!6!/0!) bulunur. Toplamda 4 farklı ikili elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin yapısını analiz et.
x!y!=x⋅(x−1)⋅⋯⋅(y+1)=720\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot \dots \cdot (y+1) = 720. Bu ifade, y+1y+1'den xx'e kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımının 720720 olduğunu gösterir.
Faktöriyel tanımı gereği sadeleştirme yapılır.
2
Tek terimli (aşikar) durumu incele.
Tek bir sayı ise x=720x = 720. Bu durumda y=719y = 719 olur. Çözüm 1: (720,719)(720, 719).
Her sayı kendisinin 1 eksiğinin faktöriyeline bölümüne eşittir.
3
Çok terimli ardışık çarpım durumlarını araştır.
10⋅9⋅8=72010 \cdot 9 \cdot 8 = 720. Buradan x=10x=10, en küçük çarpan y+1=8y+1=8 ise y=7y=7. Çözüm 2: (10,7)(10, 7).
720 sayısının ardışık çarpanlara ayrılıp ayrılamayacağı kontrol edilir.
4
Faktöriyel eşitliği durumunu incele (n!=720n! = 720).
6!=7206! = 720'dir. Yani çarpım 11'e kadar inebilir. Bu durumda x=6x=6. Payda 11 olmalıdır. y!=1y! = 1 olması için y=1y=1 veya y=0y=0 olabilir. Çözüm 3: (6,1)(6, 1) ve Çözüm 4: (6,0)(6, 0).
y!=1y! = 1 denkleminin doğal sayılarda iki çözümü vardır: 1!1! ve 0!0!.

Key Concept

Faktöriyel sadeleştirmesi, ardışık sayıların çarpımı olarak ifade edilebilir. Ayrıca 0!=10! = 1 kuralı unutulmamalıdır.

Hints

1
İfadeyi sadeleştirerek x!y!=x⋅(x−1)⋅⋯⋅(y+1)=720\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot \dots \cdot (y+1) = 720 olduğunu düşünün.
2
720 sayısını ardışık doğal sayıların çarpımı olarak kaç farklı şekilde yazabileceğinizi araştırın. Örneğin: 10⋅9⋅8=72010 \cdot 9 \cdot 8 = 720.
3
6!=7206! = 720'dir. Paydanın 1 olması için yy hangi değerleri alabilir? 0!0! kuralını unutmayın.

Practice More

Benzer mantıkla x!/y!=120x! / y! = 120 eşitliğini sağlayan kaç farklı ikili olduğunu bulunuz.
Estimated Time:3m 0s
Question 9Question →
xx bir doğal sayı olmak üzere,
A=(44!+43!)⋅(19!−18!) A = (44! + 43!) \cdot (19! - 18!)

sayısı veriliyor.

A15x\frac{A}{15^x} ifadesi bir tam sayı olduğuna göre, xx'in alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

x'in alabileceği en büyük değer 13'tür.
İstenen xx değeri, AA sayısının içindeki 5 çarpanlarının toplam sayısıdır. İlk adımda ifade (43!⋅45)⋅(18!⋅18)(43! \cdot 45) \cdot (18! \cdot 18) şeklinde düzenlenir. 43! içinde 9 adet, 45 sayısında 1 adet, 18! içinde 3 adet 5 çarpanı vardır. Toplamda 9+1+3=139+1+3=13 adet 5 çarpanı bulunduğu için xx en çok 13 olabilir.

Step-by-Step Solution

1
A sayısını oluşturan iki parantezli ifadeyi, en küçük faktöriyel parantezine alarak düzenle.
A=[43!(44+1)]⋅[18!(19−1)]=(43!⋅45)⋅(18!⋅18) A = [43!(44 + 1)] \cdot [18!(19 - 1)] = (43! \cdot 45) \cdot (18! \cdot 18)
Faktöriyelli toplama ve çıkarma işlemlerinde işlem yapabilmek için ifade çarpım durumuna getirilmelidir.
2
A sayısının 15'e tam bölünebilmesi için içindeki 3 ve 5 asal çarpanlarının sayısını incele. 15 = 3 x 5 olduğundan, az olan çarpan (genellikle 5) belirleyicidir.
5 çarpanının sayısını bulmak yeterlidir.
Bir sayının 15x15^x'e bölünebilmesi için içinde en az xx tane 3 ve xx tane 5 çarpanı bulunmalıdır. Büyük asal çarpan (5) daha az sayıda bulunacağından xx değerini sınırlar.
3
43! içindeki 5 çarpanı sayısını bul (Legendre formülü: sürekli bölme).
43÷5=843 \div 5 = 8, 8÷5=18 \div 5 = 1. Toplam: 8+1=98 + 1 = 9 adet.
Faktöriyel içindeki asal çarpan sayısı, sayının o asala sürekli bölünmesiyle bulunan bölümlerin toplamıdır.
4
18! içindeki 5 çarpanı sayısını bul.
18÷5=318 \div 5 = 3. Toplam: 3 adet.
18! içinde 5, 10, 15 sayılarından gelen 3 adet 5 çarpanı vardır.
5
Katsayılar (45 ve 18) içindeki 5 çarpanlarını ekle.
45=9⋅545 = 9 \cdot 5 (1 adet 5 var). 18=2⋅918 = 2 \cdot 9 (5 çarpanı yok).
Sadece faktöriyeller değil, parantez dışına alınan sayılar da asal çarpan içerebilir.
6
Tüm 5 çarpanlarını toplayarak x'in maksimum değerini bul.
Toplam = 9 (43!'den) + 1 (45'ten) + 3 (18!'den) + 0 (18'den) = 13.
Çarpım durumundaki ifadelerin üsleri toplanır.

Key Concept

Faktöriyel içeren toplam/fark işlemlerinde ifade ortak paranteze alınarak çarpım durumuna getirilmeli, ardından asal çarpan sayısı (Legendre Yöntemi) hesaplanırken katsayılar da ihmal edilmemelidir.

Hints

1
Faktöriyelleri toplamak veya çıkarmak yerine, en küçük faktöriyel parantezine alarak ifadeyi çarpım durumuna getirin.
2
15x=3x⋅5x15^x = 3^x \cdot 5^x olduğundan, xx'in en büyük değeri için ifadede kaç tane 5 çarpanı olduğunu bulmanız gerekir.
3
A=43!(44+1)⋅18!(19−1)A = 43!(44+1) \cdot 18!(19-1) şeklinde düzenleyin. Hem faktöriyellerin içindeki hem de parantez dışındaki sayıların (45 ve 18) içindeki 5 çarpanlarını saymayı unutmayın.

Alternative Method

Sadece 5 çarpanlarına odaklanmak yeterlidir. 44!+43! = 43!*45. 45 sayısı 5'e bölünür (1 tane). 43! ise Legendre formülü ile (8+1=9 tane). 19!-18! = 18!*18. 18'de 5 yok. 18! ise (3 tane). Toplam: 1+9+3 = 13.
Estimated Time:4m 0s
Question 10Question →
xx ve yy birer doğal sayı olmak üzere,
x!=132⋅y! x! = 132 \cdot y!

eşitliğini sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 144

Answer

Eşitliği sağlayan x değerleri 132 ve 12 olduğundan, bu değerlerin toplamı 144'tür.
Verilen eşitlik x!y!=132\frac{x!}{y!} = 132 şeklinde yazıldığında, bu oranın ardışık sayıların çarpımı olması gerekir. 132 sayısı iki farklı şekilde ardışık sayıların çarpımı olarak ifade edilebilir: Birincisi sayının kendisi yani 132 (bu durumda x=132,y=131x=132, y=131), ikincisi ise 12⋅1112 \cdot 11 (bu durumda x=12,y=10x=12, y=10). Bu iki durumdan elde edilen xx değerlerinin toplamı 132+12=144132 + 12 = 144 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliği faktöriyel tanımını kullanarak oran şeklinde düzenle.
x!y!=132\frac{x!}{y!} = 132
Bu ifade, xx sayısından geriye doğru y+1y+1'e kadar olan ardışık sayıların çarpımının 132 olduğunu gösterir.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki sayıyı (132) ardışık sayıların çarpımı olarak ifade edebilecek durumları incele.
Durum 1: Tek terimli çarpım (132132). Durum 2: İki terimli çarpım (12⋅1112 \cdot 11).
Faktöriyel sadeleştirmelerinde x!y!=x⋅(x−1)⋯(y+1)\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdots (y+1) olduğu için 132 sayısı ardışık çarpanlara ayrılmalıdır.
3
Durum 1 için (tek terimli çarpım) x değerini bul.
x!y!=132  ⟹  x=132\frac{x!}{y!} = 132 \implies x = 132 ve y=131y = 131. Bu durumda x1=132x_1 = 132 olur.
Her nn doğal sayısı için n!(n−1)!=n\frac{n!}{(n-1)!} = n eşitliği daima sağlanır.
4
Durum 2 için (ardışık iki terimli çarpım) x değerini bul.
132=12⋅11132 = 12 \cdot 11 olduğundan, x!y!=12⋅11  ⟹  x=12\frac{x!}{y!} = 12 \cdot 11 \implies x = 12 ve y=10y = 10. Bu durumda x2=12x_2 = 12 olur.
132 sayısı 12⋅1112 \cdot 11 şeklinde ardışık iki sayının çarpımı olarak yazılabilir.
5
Başka ardışık çarpım durumu olup olmadığını kontrol et ve bulunan x değerlerini topla.
Ardışık üç sayının çarpımı 6⋅5⋅4=1206 \cdot 5 \cdot 4 = 120 ve 7⋅6⋅5=2107 \cdot 6 \cdot 5 = 210 olduğundan başka çözüm yoktur. Toplam: 132+12=144132 + 12 = 144.
132 sayısını veren başka ardışık sayı dizisi bulunmamaktadır.

Key Concept

Faktöriyel içeren eşitliklerde, ifade x!y!\frac{x!}{y!} formuna getirilerek ardışık sayıların çarpımı olarak analiz edilmelidir.

Hints

1
Verilen eşitliği x!y!=132\frac{x!}{y!} = 132 şeklinde düzenleyerek düşünmeye başlayın.
2
x!y!\frac{x!}{y!} ifadesi, y+1y+1'den xx'e kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımına eşittir. 132 sayısını ardışık sayıların çarpımı olarak kaç farklı şekilde yazabilirsiniz?
3
Bir sayı her zaman kendisi olarak (tek terimli ardışık dizi) yazılabilir (x=132x=132). Ayrıca 132 sayısını A⋅(A−1)A \cdot (A-1) şeklinde ardışık iki sayının çarpımı olarak yazıp yazamayacağınızı kontrol edin.

Alternative Method

Deneme yanılma yerine 132 sayısının asal çarpanlarını (22⋅3⋅112^2 \cdot 3 \cdot 11) inceleyerek ardışık gruplar oluşturulabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 11Question →

Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?

7!+6!6!×5!−4!4!+0!\frac{7! + 6!}{6!} \times \frac{5! - 4!}{4!} + 0!
Show answer & explanation

Answer: 33

Answer

İşlemin sonucu 33 olarak bulunur.
Verilen işlemde her iki kesirli ifade de pay kısımları ortak faktöriyel parantezine alınarak sadeleştirilmiştir. Birinci kısımdan 8, ikinci kısımdan 4 değeri elde edilmiş; bu iki değer çarpılıp üzerine 0!0! (yani 1) eklendiğinde sonuç 33 olmuştur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci kesirli ifadeyi ortak paranteze alarak sadeleştirelim.
7!+6!6!=6!⋅(7+1)6!=8\frac{7! + 6!}{6!} = \frac{6! \cdot (7 + 1)}{6!} = 8
Büyük olan faktöriyeli (7!7!), küçük olan (6!6!) cinsinden yazarak sadeleştirme yapabiliriz.
2
İkinci kesirli ifadeyi ortak paranteze alarak sadeleştirelim.
5!−4!4!=4!⋅(5−1)4!=4\frac{5! - 4!}{4!} = \frac{4! \cdot (5 - 1)}{4!} = 4
Aynı mantıkla 5!5! ifadesini 5⋅4!5 \cdot 4! şeklinde açarak pay kısmını 4!4! parantezine alırız.
3
Bulduğumuz sonuçları ana işlemde yerine koyalım ve 0!0! değerini ekleyelim.
8×4+1=32+1=338 \times 4 + 1 = 32 + 1 = 33
Matematikte özel bir kural olarak 0!=10! = 1 kabul edilir. İşlem önceliğine göre önce çarpma, sonra toplama yapılır.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerinde sadeleştirme yaparken büyük sayıyı küçük sayıya benzeterek ortak paranteze alma yöntemi kullanılır.

Hints

1
Faktöriyelli ifadelerde toplama veya çıkarma varsa, her zaman en küçük faktöriyele göre paranteze almayı dene.
2
7!=7⋅6!7! = 7 \cdot 6! ve 5!=5⋅4!5! = 5 \cdot 4! eşitliklerini kullanarak pay kısımlarını sadeleştir.
3
Unutma: 0!0! her zaman 11 değerine eşittir.

Practice More

Ardışık faktöriyellerin farkı veya toplamı içeren daha karmaşık sadeleştirme sorularını inceleyebilirsin.

Alternative Method

Kesirleri parçalayarak da çözebilirsin: 7!6!+6!6!\frac{7!}{6!} + \frac{6!}{6!} ifadesi 7+1=87 + 1 = 8 olur. Aynı şekilde 5!4!−4!4!\frac{5!}{4!} - \frac{4!}{4!} ifadesi 5−1=45 - 1 = 4 olur.
Estimated Time:1m 30s
Question 12Question →
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
45!24x=y \frac{45!}{24^x} = y

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, xx'in alabileceği en büyük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

x'in alabileceği en büyük değer 13'tür.
45! sayısı 24x24^x sayısına tam bölünüyorsa, 45! içinde kaç adet 24 çarpanı olduğu bulunmalıdır. 24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3 olduğu için, 45! içindeki 2 çarpanlarının sayısı 3'e bölünerek, 3 çarpanlarının sayısı ise 1'e bölünerek karşılaştırılır. 2 çarpanından 41 adet vardır, 41/341/3 işleminden tam sayı olarak 13 adet 232^3 elde edilir. 3 çarpanından 21 adet vardır. 13 sayısı 21'den küçük olduğu için sınırlayıcıdır ve cevap 13 olur.

Step-by-Step Solution

1
Bölen sayıyı asal çarpanlarına ayır.
24=23⋅3124 = 2^3 \cdot 3^1
Faktöriyelli sayının içindeki çarpanları bulmak için tabanın asal olması gerekir.
2
45! içindeki 2 çarpanlarının sayısını bul (Legendré Formülü).
45/2→2245/2 \rightarrow 22, 22/2→1122/2 \rightarrow 11, 11/2→511/2 \rightarrow 5, 5/2→25/2 \rightarrow 2, 2/2→12/2 \rightarrow 1. Toplam: 22+11+5+2+1=4122+11+5+2+1 = 41 tane 2 çarpanı vardır.
Sürekli bölme işlemi ile faktöriyel içindeki asal çarpan sayısı bulunur.
3
Tabandaki 232^3 ifadesi için kaç grup oluşturulabileceğini hesapla.
41/3=1341 / 3 = 13 (kalan 2). Yani en fazla 13 adet 232^3 grubu oluşturulabilir.
Her bir 2424 sayısı için üç adet 2 çarpanına ihtiyaç vardır.
4
45! içindeki 3 çarpanlarının sayısını bul.
45/3→1545/3 \rightarrow 15, 15/3→515/3 \rightarrow 5, 5/3→15/3 \rightarrow 1. Toplam: 15+5+1=2115+5+1 = 21 tane 3 çarpanı vardır.
Diğer asal çarpanın sınır koyup koymadığı kontrol edilmelidir.
5
İki sonuçtan küçük olanı (sınırlayıcı olanı) seç.
2 çarpanı için limit 13, 3 çarpanı için limit 21'dir. Küçük olan 13 olduğu için cevap 13'tür.
Bir sayının oluşturulabilmesi için tüm bileşen çarpanlarının yeterli sayıda olması gerekir. Az olan bileşen üretim sayısını belirler.

Key Concept

Faktöriyel içindeki asal çarpanların sayısını bulma (Legendré Formülü) ve bileşik sayıların kuvvetlerini hesaplama.

Hints

1
24 sayısını asal çarpanlarına ayırarak işe başlayın: 24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3.
2
45! içinde kaç tane 2 çarpanı ve kaç tane 3 çarpanı olduğunu ayrı ayrı hesaplayın.
3
Bulduğunuz 2 çarpanı sayısını, 232^3 elde etmek için 3'e bölmeyi unutmayın (tamsayı bölümü). Sonra 3 çarpanı sayısı ile karşılaştırıp küçük olanı seçin.

Practice More

Benzer mantıkla 60!/18x60! / 18^x sorusunu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 13Question →

Matematikte nn bir doğal sayı olmak üzere; 11’den nn’ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımına "nn faktöriyel" denir ve n!n! ile gösterilir. Bu tanıma göre 0!=10! = 1 olarak kabul edilmektedir.

Buna göre,
5!−4!3!\frac{5! - 4!}{3!}


işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

İşlemin sonucu 16'dır.
Doğru cevap 16'dır çünkü 5!5! değeri 120'ye, 4!4! değeri 24'e eşittir. Pay kısmındaki 120−24120 - 24 işlemi 96 sonucunu verir. Bu sonuç, 3!=63! = 6 değerine bölündüğünde 96/6=1696/6 = 16 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki faktöriyel değerlerini tek tek hesaplayalım.
5!=1205! = 120, 4!=244! = 24 ve 3!=63! = 6
İşlemi gerçekleştirmek için temel faktöriyel tanımlarını sayısal değerlere dönüştürmeliyiz.
2
Pay kısmındaki çıkarma işlemini uygulayalım.
120−24=96120 - 24 = 96
Kesir çizgisinin üstündeki ifade bir bütün olarak hesaplanmalıdır.
3
Bulduğumuz farkı paydadaki değere bölelim.
96/6=1696 / 6 = 16
Kesir işlemi bölme işlemini temsil eder.

Key Concept

Faktöriyel Tanımı ve Dört İşlem

Hints

1
Faktöriyel sayılarını açık çarpım halleriyle yazarak işe başlayın.
2
5!=1205! = 120 ve 4!=244! = 24 olduğunu hatırlayın.
3
Önce 120−24120 - 24 işlemini yapın, ardından bulduğunuz sonucu 3!=63! = 6 sayısına bölün.

Practice More

Benzer bir şekilde (6!+5!)/4!(6! + 5!) / 4! işlemini yaparak toplama durumundaki sadeleştirmeleri pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Pay kısmındaki ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak da çözebilirsiniz:
5!−4!3!=5⋅4!−4!3!=4!(5−1)3!=4!⋅43!\frac{5! - 4!}{3!} = \frac{5 \cdot 4! - 4!}{3!} = \frac{4! (5 - 1)}{3!} = \frac{4! \cdot 4}{3!}

Burada 4!=4⋅3!4! = 4 \cdot 3! olduğu için:
4⋅3!⋅43!=4⋅4=16\frac{4 \cdot 3! \cdot 4}{3!} = 4 \cdot 4 = 16
Estimated Time:45s
Question 14Question →
aa ve bb pozitif tam sayılardır.
42!=24a⋅b 42! = 24^a \cdot b

eşitliğinde bb sayısı çift bir tam sayı olduğuna göre, aa'nın alabileceği en büyük değer kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

eşitlikte bb sayısının çift kalabilmesi için aa en fazla 12 olabilir
42! sayısı 24a⋅b24^a \cdot b şeklinde yazıldığında, aa'nın en büyük değeri için hem 2 hem de 3 çarpanlarının yeterli olması gerekir. 24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3 olduğundan, her bir aa için üç adet 2 ve bir adet 3 çarpanına ihtiyaç vardır. 42! içinde 39 adet 2 çarpanı ve 19 adet 3 çarpanı bulunur. Normal şartlarda 3a≤393a \le 39 işleminden a=13a=13 bulunabilirdi. Ancak soruda bb'nin çift sayı olduğu belirtilmiştir. Bu, bb sayısının içinde en az bir adet 2 çarpanı kalması gerektiği anlamına gelir. Dolayısıyla 24a24^a için kullanılabilecek 2 çarpanı sayısı en fazla 39−1=3839-1=38 olabilir. 3a≤383a \le 38 eşitsizliğinden aa en fazla 12 olabilir.

Step-by-Step Solution

1
24 sayısını asal çarpanlarına ayır.
24=23⋅3124 = 2^3 \cdot 3^1
42! içindeki 2 ve 3 çarpanlarının sayısını bularak aa'nın sınırını belirlemek için.
2
42! içerisindeki 3 çarpanlarının sayısını hesapla.
Bölümler toplamı: 14+4+1=1914 + 4 + 1 = 19. Yani a≤19a \le 19.
24a24^a ifadesindeki 3a3^a için gerekli 3 sayısı.
3
42! içerisindeki 2 çarpanlarının sayısını hesapla.
Bölümler toplamı: 21+10+5+2+1=3921 + 10 + 5 + 2 + 1 = 39.
24a24^a ifadesindeki 23a2^{3a} için gerekli 2 sayısı.
4
bb sayısının çift olma şartını değerlendir.
bb çift ise, bb içinde en az bir adet 2 çarpanı kalmalıdır. Kullanılabilir 2 sayısı: 39−1=3839 - 1 = 38.
Eğer tüm 2 çarpanları 24a24^a içine alınırsa, geriye kalan bb sayısı tek olur.
5
2 çarpanı için aa değerini sınırla.
3a≤38  ⟹  a≤12,66...3a \le 38 \implies a \le 12,66... Buradan amax=12a_{max} = 12.
Her bir aa değeri için 3 adet 2 çarpanı gereklidir (23a2^{3a}).
6
Sınırları karşılaştır ve sonucu belirle.
3 çarpanına göre a≤19a \le 19, 2 çarpanına göre a≤12a \le 12. Küçük olan değer 12'dir.
Her iki asal çarpanın da yeterli sayıda olması gerekir.

Key Concept

Faktöriyel içindeki asal çarpan sayısını bulma ve bölen analizi

Hints

1
Önce 24 sayısını asal çarpanlarına ayırın (23⋅32^3 \cdot 3). Bu, aa tane 24 elde etmek için kaçar tane 2 ve 3 gerektiğini gösterir.
2
42! sayısının içinde toplam kaç tane 2 çarpanı olduğunu zincirleme bölme yöntemiyle bulun.
3
bb sayısının çift olması demek, eldeki tüm 2 çarpanlarını 24a24^a için harcamamanız, en az bir tanesini bb'ye ayırmanız gerektiği anlamına gelir.

Practice More

Benzer bir soruyu 'b sayısı 3'e tam bölünmektedir' şartıyla çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Sağlamasını yapmak için: a=13a=13 olsaydı, kullanılan 2 sayısı 13×3=3913 \times 3 = 39 olurdu. 42! içindeki toplam 2 sayısı da 39'dur. Hiç 2 artmazdı, bu da kalan sayının (bb) tek olmasına neden olurdu.
Estimated Time:2m 30s
Question 15Question →
a=(6!)2 a = (6!)^2

b=5!⋅7! b = 5! \cdot 7!

c=4!⋅8! c = 4! \cdot 8!

olduğuna göre; a,ba, b ve cc sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: a<b<ca < b < c

Answer

Sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı a<b<ca < b < c şeklindedir.
Verilen sayılar birbirine oranlandığında; bb sayısının aa'nın 76\frac{7}{6} katı, cc sayısının ise bb'nin 85\frac{8}{5} katı olduğu görülür. Her iki oran da 1'den büyük olduğu için a<b<ca < b < c sıralaması elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
aa ve bb sayılarını birbirine oranlayarak karşılaştıralım.
ba=5!⋅7!6!⋅6!=5!⋅7⋅6!6⋅5!⋅6!=76\frac{b}{a} = \frac{5! \cdot 7!}{6! \cdot 6!} = \frac{5! \cdot 7 \cdot 6!}{6 \cdot 5! \cdot 6!} = \frac{7}{6}
Sayıları sadeleştirmek için büyük olan faktöriyelleri bir küçük olanlar cinsinden ifade ediyoruz (7!=7⋅6!7! = 7 \cdot 6! ve 6!=6⋅5!6! = 6 \cdot 5!).
2
Elde edilen oranı yorumlayalım.
76>1 oldug˘u ic¸in b>a’dır.\frac{7}{6} > 1 \text{ olduğu için } b > a \text{'dır.}
İki pozitif sayının oranı 1'den büyükse, pay paydadan büyüktür.
3
bb ve cc sayılarını birbirine oranlayarak karşılaştıralım.
cb=4!⋅8!5!⋅7!=4!⋅8⋅7!5⋅4!⋅7!=85\frac{c}{b} = \frac{4! \cdot 8!}{5! \cdot 7!} = \frac{4! \cdot 8 \cdot 7!}{5 \cdot 4! \cdot 7!} = \frac{8}{5}
Benzer şekilde 8!=8⋅7!8! = 8 \cdot 7! ve 5!=5⋅4!5! = 5 \cdot 4! dönüşümlerini yaparak sadeleştirme uyguluyoruz.
4
Elde edilen oranı yorumlayalım.
85>1 oldug˘u ic¸in c>b’dir.\frac{8}{5} > 1 \text{ olduğu için } c > b \text{'dir.}
Oran 1'den büyük çıktığı için cc sayısı bb'den daha büyüktür.
5
Elde edilen tüm eşitsizlikleri birleştirelim.
a<b ve b<c⇒a<b<ca < b \text{ ve } b < c \Rightarrow a < b < c
Sıralama bağıntısının geçişme özelliği gereği nihai sıralama bu şekilde oluşur.

Key Concept

Faktöriyel ifadelerin sadeleştirilmesi ve birbirine oranlanarak karşılaştırılması.

Hints

1
Faktöriyel sayıların değerlerini hesaplamak imkansızdır, bu yüzden sayıları birbirine oranlayarak sadeleştirmeyi deneyin.
2
bb sayısını aa cinsinden yazmak için 6!=6⋅5!6! = 6 \cdot 5! ve 7!=7⋅6!7! = 7 \cdot 6! ifadelerini kullanın.
3
ba=76\frac{b}{a} = \frac{7}{6} ve cb=85\frac{c}{b} = \frac{8}{5} oranlarını bulduktan sonra, her ikisinin de 1'den büyük olması size sıralamayı verecektir.

Practice More

Bu kuralı 3!⋅9!3! \cdot 9! ve 2!⋅10!2! \cdot 10! sayıları için de test ederek mantığı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Toplamları sabit olan (burada hepsinde 12) iki sayının faktöriyellerinin çarpımında, sayılar arasındaki fark arttıkça çarpımın sonucu da büyür. aa için fark 00, bb için fark 22 (7−57-5), cc için fark 44 (8−48-4)'tür. Dolayısıyla a<b<ca < b < c olur.
Estimated Time:1m 30s
Question 16Question →
aa ve bb pozitif tam sayılardır.
a!b!=990 \frac{a!}{b!} = 990

olduğuna göre, bb'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 997

Answer

Doğru cevap 997'dir.
Faktöriyel bölme işlemi a!b!\frac{a!}{b!}, ardışık sayıların çarpımı anlamına gelir. Çarpımı 990 olan ardışık sayı dizileri aranmalıdır. Birinci durum, sayının kendisidir: a=990a=990 ve b=989b=989 (çünkü 990!989!=990\frac{990!}{989!} = 990). İkinci durum, 990'ın ardışık çarpanlarıdır: 11⋅10⋅9=99011 \cdot 10 \cdot 9 = 990. Bu durumda a=11a=11 ve b=8b=8 (çünkü 11!8!=11⋅10⋅9\frac{11!}{8!} = 11 \cdot 10 \cdot 9). bb'nin alabileceği değerler 989 ve 8 olup, toplamları 997'dir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliği düzenleyin ve anlamını belirleyin.
a!=990⋅b!a! = 990 \cdot b! veya a!b!=990\frac{a!}{b!} = 990 olarak yazılır. Bu ifade, bb'den büyük ve aa'ya kadar olan ardışık tam sayıların çarpımının 990 olduğunu gösterir.
Faktöriyel tanımı gereği a!b!=a(a−1)...(b+1)\frac{a!}{b!} = a(a-1)...(b+1) çarpımına eşittir.
2
Tek çarpanlı (aşikar) durumu inceleyin.
990 sayısı tek bir sayı olarak düşünülebilir. Bu durumda çarpım sadece aa'dan ibarettir. a=990a=990 için 990!989!=990\frac{990!}{989!} = 990 olur. Buradan ilk değer b1=989b_1 = 989 bulunur.
Her nn sayısı için n!(n−1)!=n\frac{n!}{(n-1)!} = n eşitliği geçerlidir.
3
Çok çarpanlı durumları (ardışık sayı dizilerini) araştırın.
990 sayısını ardışık çarpanlarına ayıralım. 990=10⋅99=10⋅9⋅11990 = 10 \cdot 99 = 10 \cdot 9 \cdot 11. Sayıları sıralarsak 11⋅10⋅9=99011 \cdot 10 \cdot 9 = 990 elde edilir. Bu çarpım 11!8!=11⋅10⋅9\frac{11!}{8!} = 11 \cdot 10 \cdot 9 ifadesine karşılık gelir. Buradan a=11a=11 ve b2=8b_2=8 bulunur.
990 sayısı üç ardışık sayının çarpımı şeklinde yazılabilir.
4
Başka durum olup olmadığını kontrol edip sonuçları toplayın.
Başka ardışık çarpım (örneğin 2 veya 4 sayılı) 990 sonucunu vermez. Bulunan bb değerleri 989 ve 8'dir. Toplam: 989+8=997989 + 8 = 997.
Farklı çözüm kümelerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Ardışık Sayıların Çarpımı ve Faktöriyel

Hints

1
Verilen a!b!=990\frac{a!}{b!} = 990 eşitliğini, ardışık sayıların çarpımı olarak düşünün. Örneğin 5!3!=5⋅4=20\frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20 gibi.
2
Çarpımı 990 olan ardışık sayı gruplarını arayın. Bir grup sadece tek bir sayıdan (990) oluşabilir.
3
990 sayısını çarpanlarına ayırın: 99⋅1099 \cdot 10. Bunu ardışık üç sayının çarpımı (n⋅(n−1)⋅(n−2)n \cdot (n-1) \cdot (n-2)) şeklinde yazmaya çalışın.

Practice More

Benzer şekilde x!y!=210\frac{x!}{y!} = 210 eşitliğini sağlayan kaç farklı (x,y)(x,y) ikilisi olduğunu bulunuz.
Estimated Time:2m 30s
Question 17Question →

A=6!⋅7!⋅8!A = 6! \cdot 7! \cdot 8! sayısı veriliyor.

Buna göre, AA sayısını tam bölen en büyük faktöriyelli sayı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 10!

Answer

A sayısını tam bölen en büyük faktöriyelli sayı 10! ifadesidir.
Verilen A=6!⋅7!⋅8!A = 6! \cdot 7! \cdot 8! ifadesinin seçeneklerdeki faktöriyellere bölünebilirliği test edildiğinde; 10! seçeneği için ifadenin 6!⋅7!⋅8!10!=720⋅7!90=8⋅7!\frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{10!} = \frac{720 \cdot 7!}{90} = 8 \cdot 7! şeklinde tam sayı olduğu görülür. Ancak bir sonraki seçenek olan 11! için sonuç 11 asal çarpanı sadeleşmediği için tam sayı çıkmaz. Bu nedenle tam bölen en büyük sayı 10!'dir.

Step-by-Step Solution

1
A sayısının verilen faktöriyel seçeneklerine bölünebilirliği kontrol edilir. İstenen durum An!\frac{A}{n!} ifadesinin tam sayı olmasıdır.
İfade: 6!⋅7!⋅8!n!\frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{n!}
Bir sayının başka bir sayıya tam bölünmesi için bölümün tam sayı olması gerekir.
2
Önce seçenekler arasındaki en makul aday olan 10! denenir. 10! ifadesi 10⋅9⋅8!10 \cdot 9 \cdot 8! olarak açılır ve sadeleştirme yapılır.
6!⋅7!⋅8!10!=6!⋅7!⋅8!10⋅9⋅8!=6!⋅7!90\frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{10!} = \frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{10 \cdot 9 \cdot 8!} = \frac{6! \cdot 7!}{90}
Büyük faktöriyelleri sadeleştirmek işlemi kolaylaştırır.
3
Kalan ifadenin 90'a bölünüp bölünmediği kontrol edilir. 6!=7206! = 720 olduğu hatırlanır.
720⋅7!90=8⋅7!\frac{720 \cdot 7!}{90} = 8 \cdot 7!
720 sayısı 90'a tam bölünür (Bölüm 8'dir). Sonuç bir tam sayıdır, yani 10! böler.
4
Daha büyük bir faktöriyel olan 11!'in bölüp bölmediği kontrol edilir.
6!⋅7!⋅8!11!=A10!⋅11=8⋅7!11\frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{11!} = \frac{A}{10! \cdot 11} = \frac{8 \cdot 7!}{11}
Önceki adımda bulduğumuz sonucu 11'e bölerek ilerleyebiliriz.
5
11 sayısının asal olduğu ve pay kısmındaki çarpanlarda (8 ve 7!) 11 çarpanının bulunmadığı tespit edilir.
11 asal sayısı 7!=50407! = 5040 sayısını bölmez. Bu nedenle 11! A sayısını tam bölmez.
Asal çarpan kontrolü kesin sonuç verir. 11! bölünmüyorsa daha büyükleri de bölünmez.

Key Concept

Faktöriyelli sayılarda bölünebilme ve sadeleştirme kuralları.

Hints

1
Bölme işlemini kesir olarak yazın: 6!⋅7!⋅8!n!\frac{6! \cdot 7! \cdot 8!}{n!}.
2
Paydadaki faktöriyeli, paydaki en büyük faktöriyel olan 8!8! cinsinden açarak sadeleştirme yapın (Örn: 10!=10⋅9⋅8!10! = 10 \cdot 9 \cdot 8!).
3
Sadeleştirme sonrası kalan sayıların birbirine bölünüp bölünmediğini kontrol edin. 6!=7206! = 720 olduğunu hatırlayın.

Practice More

İçinde asal çarpan barındıran faktöriyel sadeleştirme sorularını inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 18Question →
nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,
(2n)!+(2n−1)!(2n−1)!+n!+(n−1)!(n−2)!=48 \frac{(2n)! + (2n-1)!}{(2n-1)!} + \frac{n! + (n-1)!}{(n-2)!} = 48

eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Eşitliği sağlayan n değeri 6'dır.
Verilen ifadede her iki kesir de en küçük faktöriyel parantezine alınarak sadeleştirilir. Birinci kesir 2n+12n+1, ikinci kesir ise n2−1n^2-1 sonucunu verir. Toplamları n2+2n=48n^2+2n=48 denklemini oluşturur. Bu denklemin pozitif kökü 6'dır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin birinci terimini sadeleştirin.
(2n)!+(2n−1)!(2n−1)!=(2n−1)!⋅[2n+1](2n−1)!=2n+1\frac{(2n)! + (2n-1)!}{(2n-1)!} = \frac{(2n-1)! \cdot [2n + 1]}{(2n-1)!} = 2n + 1
Paydaki ifade (2n−1)!(2n-1)! parantezine alınarak payda ile sadeleştirilir.
2
Eşitliğin ikinci terimini sadeleştirin.
n!+(n−1)!(n−2)!=(n−1)!⋅[n+1](n−2)!=(n−2)!(n−1)(n+1)(n−2)!=(n−1)(n+1)=n2−1\frac{n! + (n-1)!}{(n-2)!} = \frac{(n-1)! \cdot [n + 1]}{(n-2)!} = \frac{(n-2)!(n-1)(n+1)}{(n-2)!} = (n-1)(n+1) = n^2 - 1
Paydaki ifade (n−1)!(n-1)! parantezine alınır, ardından (n−1)!=(n−1)(n−2)!(n-1)! = (n-1)(n-2)! dönüşümü ile payda sadeleştirilir.
3
Bulunan sadeleşmiş ifadeleri toplayıp denklemi çözün.
(2n+1)+(n2−1)=48⇒n2+2n=48(2n + 1) + (n^2 - 1) = 48 \Rightarrow n^2 + 2n = 48
Sadeleşmiş terimlerin toplamı 48'e eşitlenir.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini bulun.
n2+2n−48=0⇒(n+8)(n−6)=0n^2 + 2n - 48 = 0 \Rightarrow (n+8)(n-6) = 0
Denklem çarpanlarına ayrılır.
5
Geçerli kökü belirleyin.
n=−8n = -8 veya n=6n = 6. nn pozitif tam sayı olduğu için n=6n=6 olmalıdır.
Negatif kök, faktöriyel tanımı ve sorudaki pozitif tam sayı koşulu gereği elenir.

Key Concept

Faktöriyel sadeleştirmeleri ve ikinci dereceden denkleme dönüşen ifadeler

Hints

1
Her kesirdeki pay ifadesini, o kesirdeki en küçük faktöriyel cinsinden paranteze alarak sadeleştirmeyi deneyin.
2
(2n)!=(2n)(2n−1)!(2n)! = (2n)(2n-1)! ve n!=n(n−1)!n! = n(n-1)! özelliklerini kullanın. Ayrıca (n−1)!=(n−1)(n−2)!(n-1)! = (n-1)(n-2)! olduğunu hatırlayın.
3
Sadeleştirmeler sonucunda ifade n2+2n=48n^2 + 2n = 48 şeklinde ikinci dereceden bir denkleme dönüşür.

Practice More

Faktöriyelli ifadelerin sadeleştirilmesini içeren ve sonucunda rasyonel ifade veya denklem çözümü gerektiren başka sorular çözün.

Alternative Method

Şıklardaki değerleri doğrudan denklemde yerine koyarak deneme-yanılma yöntemiyle de çözüm bulunabilir, ancak bu yöntem zaman alıcı olabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 19Question →

Pozitif tam sayılarda faktöriyel kavramı n!=1⋅2⋅3⋅⋯⋅nn! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n şeklinde tanımlanır ve 0!=10! = 1 olarak kabul edilir.

Buna göre,
5!+4!4!+0!\frac{5! + 4!}{4!} + 0!


işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

İşlemin sonucu 7 olarak bulunur.
İşlemde öncelikle kesirli ifade çözülmelidir. 5!5! ifadesi 5⋅4!5 \cdot 4! olarak açıldığında, pay kısmı 5⋅4!+4!=6⋅4!5 \cdot 4! + 4! = 6 \cdot 4! olur. Paydadaki 4!4! ile sadeleştiğinde kesrin değeri 66 çıkar. Son olarak bu değere 0!=10! = 1 eklendiğinde 6+1=76 + 1 = 7 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kesirli ifadenin pay kısmındaki faktöriyelleri en küçük olanın (4!4!) cinsinden yazalım.
5!+4!=5⋅4!+4!=4!(5+1)=6⋅4!5! + 4! = 5 \cdot 4! + 4! = 4!(5 + 1) = 6 \cdot 4!
Faktöriyel içeren toplama ve bölme işlemlerinde ortak paranteze alma sadeleştirmeyi kolaylaştırır.
2
Bulduğumuz değeri kesirde yerine koyarak sadeleştirme işlemini yapalım.
6⋅4!4!=6\frac{6 \cdot 4!}{4!} = 6
Pay ve paydadaki aynı çarpanlar birbirini sadeleştirir.
3
Kesrin sonucuna 0!0! değerini ekleyelim.
6+0!=6+1=76 + 0! = 6 + 1 = 7
0!0! matematiksel tanım gereği 11’e eşittir.

Key Concept

Faktöriyel Tanımı ve Temel Özellikler

Hints

1
0!0! değerinin kaça eşit olduğunu hatırlayarak başlayın.
2
Kesirli ifadede pay kısmındaki 5!5! değerini 5⋅4!5 \cdot 4! olarak yazıp ortak paranteze almayı deneyin.
3
Kesrin payını 6⋅4!6 \cdot 4! olarak bulduktan sonra paydadaki 4!4! ile sadeleştirin ve dışarıdaki 0!0! (yani 11) ile toplayın.

Practice More

Faktöriyel içeren benzer bölme işlemlerinde büyük olan sayıyı küçük olana kadar açmayı alışkanlık haline getirin.

Alternative Method

Kesri parçalayarak da çözebilirsiniz: 5!4!+4!4!+0!\frac{5!}{4!} + \frac{4!}{4!} + 0!. Buradan 5+1+1=75 + 1 + 1 = 7 elde edilir.
Estimated Time:45s
Question 20Question →

AA sayısı, 00’dan 20242024’e kadar olan doğal sayıların faktöriyellerinin toplamı olarak aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

A=0!+1!+2!+3!+⋯+2024!A = 0! + 1! + 2! + 3! + \dots + 2024!

Buna göre, AA sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

A sayısının birler basamağındaki rakam 4'tür.
Doğru cevap, faktöriyel fonksiyonunun büyüme özelliğinden kaynaklanır. 5!5! ve sonraki tüm faktöriyeller (6!,7!,…6!, 7!, \dots) çarpan olarak hem 2 hem de 5'i içerdiğinden 10 ile tam bölünürler, yani birler basamakları 0'dır. Bu nedenle AA sayısının birler basamağını belirleyen terimler sadece 0!,1!,2!,3!0!, 1!, 2!, 3! ve 4!4! terimleridir. Bu değerlerin toplamı 1+1+2+6+24=341+1+2+6+24=34 yapar. 34 sayısının birler basamağı ise 4'tür.

Step-by-Step Solution

1
İlk birkaç faktöriyel değerini ve birler basamağındaki rakamları hesapla.
0!=10! = 1
1!=11! = 1
2!=22! = 2
3!=63! = 6
4!=244! = 24 (Birler basamağı: 4)
Toplamın birler basamağını bulmak için her bir terimin birler basamağındaki değeri bilmemiz gerekir.
2
5! ve sonrasındaki terimlerin birler basamağını incele.
5!=1205! = 120 (Birler basamağı: 0)
6!=7206! = 720 (Birler basamağı: 0)
Genel olarak n≥5n \ge 5 için n!n! değerinin birler basamağı 0'dır.
5!=5×4×3×2×15! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 çarpımı içinde 2 ve 5 çarpanları bulunduğu için sayı 10'a tam bölünür ve sonu 0 ile biter.
3
Birler basamağı 0 olmayan terimlerin birler basamaklarını topla.
Toplam = 1+1+2+6+4=141 + 1 + 2 + 6 + 4 = 14
5! ve sonrası 0 olduğu için toplama etki etmez. Sadece ilk 5 terim (0! ile 4! arası) sonucu belirler.
4
Elde edilen toplamın birler basamağını bul.
14 sayısının birler basamağı 4'tür.
Sonuç A sayısının birler basamağıdır.

Key Concept

Faktöriyel kavramında n≥5n \ge 5 için n!n! sayısının birler basamağı daima 0'dır.

Hints

1
Büyük faktöriyelleri hesaplamaya çalışmayın. 5! ve sonrasındaki sayıların son basamağını düşünün.
2
5!=1205! = 120 dir. Bu sayıdan sonraki tüm faktöriyellerin (6!,7!…6!, 7! \dots) sonu hangi rakamla biter?
3
Sadece 0!+1!+2!+3!+4!0! + 1! + 2! + 3! + 4! toplamının birler basamağını bulmanız yeterlidir, çünkü diğerleri 0 ile biter.

Practice More

Benzer mantıkla, toplamın 12 veya 15 ile bölümünden kalan soruları çözülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Page 1 / 2Next