Examkin

Question

Difficulty: MediumBinom Açılımı
(2x+1)n(2x + 1)^n
ifadesinin binom açılımındaki katsayılar toplamı 8181 olduğuna göre, bu açılımdaki x2x^2 li terimin katsayısı kaçtır?
  1. 24Answer
  2. B
    12
  3. C
    6
  4. D
    32
  5. E
    8

Answer

Binom açılımındaki x2x^2 li terimin katsayısı 2424 olmalıdır.
Katsayılar toplamı kuralına göre x=1x=1 yazıldığında 3n=813^n=81 eşitliğinden n=4n=4 bulunur.
(2x+1)4(2x+1)^4
açılımında x2x^2 li terim için genel terim formülünde r=2r=2 seçilmelidir. Bu durumda
(42)⋅(2x)2⋅12=6⋅4=24\binom{4}{2} \cdot (2x)^2 \cdot 1^2 = 6 \cdot 4 = 24
katsayısına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Katsayılar toplamını bulmak için değişkene 1 değeri verilir.
x=1x = 1 için (2⋅1+1)n=3n=81(2 \cdot 1 + 1)^n = 3^n = 81
Bir polinom veya binom açılımında katsayılar toplamı, değişkenlerin yerine 1 yazılarak hesaplanır.
2
3n=813^n = 81 denklemi çözülerek nn değeri bulunur.
3n=34⇒n=43^n = 3^4 \Rightarrow n = 4
8181 sayısı 33'ün 44. kuvvetidir.
3
Binom genel terim formülü uygulanarak x2x^2 li terim belirlenir.
(4r)⋅(2x)4−r⋅(1)r\binom{4}{r} \cdot (2x)^{4-r} \cdot (1)^r
ifadesinde 4−r=2⇒r=24-r = 2 \Rightarrow r = 2 bulunur.
x2x^2 li terimi elde etmek için xx değişkeninin kuvvetinin 22 olması gerekir.
4
r=2r = 2 değeri için terimin katsayısı hesaplanır.
(42)⋅(2x)2⋅12=6⋅4x2⋅1=24x2\binom{4}{2} \cdot (2x)^2 \cdot 1^2 = 6 \cdot 4x^2 \cdot 1 = 24x^2
Kombinasyon değeri ile terimdeki katsayıların kuvvetleri çarpılarak sonuç bulunur.

Key Concept

Binom Açılımında Katsayılar Toplamı ve Genel Terim

Hints

1
Katsayılar toplamını bulmak için xx yerine 11 yazarak nn sayısını belirleyin.
2
3n=813^n = 81 ise n=4n = 4 olduğunu göreceksiniz. Şimdi
(2x+1)4(2x+1)^4
açılımını düşünün.
3
Genel terim formülü olan
(nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r
ifadesinde xx'in kuvvetinin 22 olması için rr kaç olmalıdır?

Practice More

Binom açılımında sabit terimi bulmak için değişken yerine 0 yazılması gerektiğini hatırlayarak benzer bir soruyu çözebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Binom Açılımı

More questions from this topic