Examkin

Question

Difficulty: MediumKümeler
Gerçel sayılar kümesi üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
A={x∈R∣∣x−2∣≤3}A = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| \le 3\}
B={x∈R∣2x−4<0}B = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x - 4 < 0\}

Buna göre, A∖BA \setminus B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    [−1,2)[-1, 2)
  2. [2,5][2, 5]Answer
  3. C
    (2,5](2, 5]
  4. D
    [2,3][2, 3]
  5. E
    [−1,5][-1, 5]

Answer

[2,5][2, 5] aralığıdır.
Öncelikle AA ve BB kümelerinin aralıkları bulunur. A=[−1,5]A = [-1, 5] ve B=(−∞,2)B = (-\infty, 2) olarak hesaplanır. A∖BA \setminus B işlemi, AA kümesinde bulunup BB kümesinde bulunmayan elemanları ifade eder. BB kümesi 22'den küçük tüm sayıları kapsadığı için, AA kümesinden bu kısım atılır. Geriye 22 ve daha büyük olan, 55'e kadar olan sayılar kalır. BB kümesi 22'yi içermediği (açık aralık olduğu) için, 22 sayısı AA'dan çıkarılmaz ve sonuç kümesine dahil edilir. Bu nedenle doğru cevap [2,5][2, 5] aralığıdır.

Step-by-Step Solution

1
AA kümesini açık aralık olarak yazmak için mutlak değer eşitsizliğini çöz
∣x−2∣≤3  ⟹  −3≤x−2≤3  ⟹  −1≤x≤5|x - 2| \le 3 \implies -3 \le x - 2 \le 3 \implies -1 \le x \le 5. Yani A=[−1,5]A = [-1, 5].
Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kuralı uygulanır.
2
BB kümesini açık aralık olarak yazmak için eşitsizliği çöz
2x−4<0  ⟹  2x<4  ⟹  x<22x - 4 < 0 \implies 2x < 4 \implies x < 2. Yani B=(−∞,2)B = (-\infty, 2).
Birinci dereceden eşitsizlik çözülür.
3
A∖BA \setminus B (A fark B) kümesini bul
AA kümesinden, BB kümesinin elemanlarını çıkarırız. BB, 22'den küçük sayıları içerir. A=[−1,5]A = [-1, 5] aralığından 22'den küçük kısımları atarsak geriye 22 ve 22'den büyük kısımlar kalır. 22 sayısı BB'ye dahil OLMADIĞI için (x<2x<2), fark kümesinde KALIR.
Fark işlemi tanımı: A'da olup B'de olmayan elemanlar.
4
Sonucu aralık notasyonu ile ifade et
Kalan kısım 22'den 55'e kadardır ve her iki sınır da dahildir: [2,5][2, 5].
Sınır değerlerin dahiliyeti kontrol edilir.

Key Concept

Kümelerde fark işlemi ve aralık kavramı

Hints

1
Önce AA ve BB kümelerini sayı doğrusu üzerinde aralık olarak ifade ediniz.
2
∣x−2∣≤3|x - 2| \le 3 eşitsizliği −3≤x−2≤3-3 \le x - 2 \le 3 anlamına gelir. BB kümesi için ise 2x<42x < 4 eşitsizliğini çözünüz.
3
A=[−1,5]A = [-1, 5] ve B=(−∞,2)B = (-\infty, 2) şeklindedir. A kümesinden 2'den küçük sayıları çıkarırsanız geriye ne kalır? 2 sayısının B'ye dahil olup olmadığına dikkat ediniz.

Alternative Method

Sayı doğrusu çizerek görselleştirme yöntemi: Sayı doğrusunda -1 ile 5 arasını tarayın (A). Sonra 2'den küçük kısmı silin (B). Geriye kalan parça cevaptır.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kümeler

More questions from this topic