Examkin

Question

Difficulty: HardKümeler

AA ve BB kümeleri için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* AA kümesinin alt küme sayısı, BB kümesinin alt küme sayısının 6464 katıdır.
* s(A∩B)=3s(A \cap B) = 3
* s(A∪B)=19s(A \cup B) = 19

Buna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    8
  2. B
    11
  3. C
    12
  4. 14Answer
  5. E
    17

Answer

A kümesinin eleman sayısı 14'tür.
Alt küme sayısı 2n2^n olduğundan, bir kümenin alt küme sayısının 64 katına çıkması (262^6), o kümenin eleman sayısının 6 artması demektir. s(A)=s(B)+6s(A) = s(B) + 6 ilişkisi ve birleşim formülü (A∪B=A+B−A∩BA \cup B = A + B - A \cap B) kullanılarak s(A)=14s(A)=14 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Alt küme sayısı ilişkisini eleman sayısı denklemine dönüştür.
2s(A)=64⋅2s(B)⇒2s(A)=26⋅2s(B)⇒s(A)=s(B)+62^{s(A)} = 64 \cdot 2^{s(B)} \Rightarrow 2^{s(A)} = 2^6 \cdot 2^{s(B)} \Rightarrow s(A) = s(B) + 6
Alt küme sayısı 2n2^n formülü ile hesaplanır ve üslü sayı kuralları gereği çarpım durumunda üsler toplanır.
2
Kümelerin birleşim formülünü yaz.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)
Birleşim kümesinin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişimin çıkarılmasıyla bulunur.
3
Verilen değerleri ve 1. adımdaki ilişkiyi formülde yerine yaz.
19=(s(B)+6)+s(B)−319 = (s(B) + 6) + s(B) - 3
s(A)s(A) yerine s(B)+6s(B)+6 yazılarak tek bilinmeyenli denklem elde edilir.
4
Denklemi çözerek s(B)s(B) değerini bul.
19=2s(B)+3⇒16=2s(B)⇒s(B)=819 = 2s(B) + 3 \Rightarrow 16 = 2s(B) \Rightarrow s(B) = 8
Bilinmeyen yalnız bırakılarak değer hesaplanır.
5
s(B)s(B) değerini kullanarak s(A)s(A) değerini bul.
s(A)=s(B)+6=8+6=14s(A) = s(B) + 6 = 8 + 6 = 14
Soruda AA kümesinin eleman sayısı istenmektedir.

Key Concept

Alt Küme Sayısı ve Birleşim Formülü

Hints

1
Bir kümenin alt küme sayısı 2n2^n formülü ile bulunur. 64 sayısı 2'nin kaçıncı kuvvetidir?

Alternative Method

Venn şeması çizerek; s(A∩B)=3s(A \cap B)=3 olduğu için kesişim bölgesine 3 yazılır. s(B∖A)=xs(B \setminus A) = x denirse, s(A∖B)=x+6s(A \setminus B) = x+6 olur (çünkü s(A)=s(B)+6s(A)=s(B)+6). Toplam birleşim x+3+(x+6)=19x + 3 + (x+6) = 19 denklemiyle de çözülebilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kümeler

More questions from this topic