Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyon Tanımı ve Değer Bulma
Sıfırdan farklı gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir ff fonksiyonu için,
f(x)+2f(1x)=3xf(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

  1. A
    -3
  2. -1Answer
  3. C
    1
  4. D
    3,5
  5. E
    6

Answer

-1 değeridir
Verilen fonksiyonel denklemde xx ve 1/x1/x birbirine bağlı olduğu için, x=2x=2 ve x=1/2x=1/2 değerleri için iki ayrı denklem kurulur. Bu denklemler ortak çözüldüğünde doğru cevap olan -1 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitlikte önce istenen değer olan x=2x=2 yazılır.
f(2)+2f(1/2)=3(2)⇒f(2)+2f(1/2)=6f(2) + 2f(1/2) = 3(2) \Rightarrow f(2) + 2f(1/2) = 6 (I. Denklem)
Fonksiyonun değerini bulmak için ilk adımda doğrudan değişken yerine koyma işlemi yapılır.
2
Eşitlikte bilinmeyen diğer terim olan f(1/2)f(1/2)'yi yok etmek için bu sefer x=1/2x=1/2 yazılır.
f(1/2)+2f(2)=3(1/2)⇒f(1/2)+2f(2)=1,5f(1/2) + 2f(2) = 3(1/2) \Rightarrow f(1/2) + 2f(2) = 1,5 (II. Denklem)
İki bilinmeyenli denklem sistemi oluşturmak için x yerine tersi olan değer yazılır.
3
II. Denklemden f(1/2)f(1/2) çekilir veya yok etme metodu uygulanır.
II. denklemi -2 ile çarpalım: −2f(1/2)−4f(2)=−3-2f(1/2) - 4f(2) = -3. Bunu I. denklemle toplayalım: (f(2)−4f(2))+(2f(1/2)−2f(1/2))=6−3(f(2) - 4f(2)) + (2f(1/2) - 2f(1/2)) = 6 - 3.
Sistem çözümü yapılarak istenmeyen terimden kurtulunur.
4
Elde edilen son denklem çözülerek f(2)f(2) bulunur.
−3f(2)=3⇒f(2)=−1-3f(2) = 3 \Rightarrow f(2) = -1
Sonuç hesaplanır.

Key Concept

Bu soru tipinde f(x)f(x) ve f(1/x)f(1/x) içeren denklemlerde, xx yerine bir değer ve onun çarpmaya göre tersi yazılarak bir denklem sistemi elde edilir ve çözülür.

Hints

1
Eşitlikte önce xx gördüğünüz yere 22 yazarak birinci denklemi oluşturun.
2
Oluşan denklemde f(1/2)f(1/2) ifadesi karşınıza çıkacaktır. Bunu bulmak veya yok etmek için, bu sefer başlangıçtaki eşitlikte xx yerine 1/21/2 yazın.
3
Elinizde f(2)f(2) ve f(1/2)f(1/2) bilinmeyenlerine sahip iki denklem oldu. Yok etme metodunu kullanarak f(2)f(2)'yi yalnız bırakın.

Practice More

f(x)+f(−x)=x2+2xf(x) + f(-x) = x^2 + 2x gibi simetrik ilişki içeren fonksiyon sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Genel çözüm için xx ve 1/x1/x yazılarak genel f(x)f(x) kuralı bulunabilir: f(x)=2x−xf(x) = \frac{2}{x} - x. Buradan f(2)=1−2=−1f(2) = 1 - 2 = -1 bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Tanımı ve Değer Bulma

More questions from this topic