Examkin

Question

Difficulty: MediumFaktöriyel (Sayma)

nn bir doğal sayı olmak üzere, n!n! sayısının sondan tam olarak 10 basamağı sıfırdır.

Buna göre, nn sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. 235Answer
  2. B
    230
  3. C
    225
  4. D
    190
  5. E
    45

Answer

Sondan 10 basamağı sıfır olan nn değerlerinin toplamı 235'tir.
Sondan 10 basamağı sıfır olan en küçük doğal sayı 45'tir. Bu durum, bir sonraki 5 çarpanının eklendiği 50 sayısına kadar değişmez. Dolayısıyla şartı sağlayan sayılar 45, 46, 47, 48 ve 49'dur. Bu sayıların toplamı 45+46+47+48+49=23545+46+47+48+49=235 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Sıfır sayısını belirleyen kuralı hatırla.
n!n! sayısının sonundaki sıfır sayısı, içindeki 5 çarpanlarının sayısına eşittir.
Her 2 ve 5 çarpanı bir 10 çarpanı (yani bir sıfır) oluşturur; faktöriyelde 2 çarpanı 5'ten çok daha fazla olduğu için kısıtlayıcı olan 5 sayısıdır.
2
Sondan 10 basamağı sıfır olan en küçük nn değerini bul.
n=45n=45 için 45÷5=945 \div 5 = 9, 9÷5=19 \div 5 = 1 ve 9+1=109+1 = 10.
Ardışık bölme yöntemiyle toplam bölümün 10 olması sağlanır.
3
Sıfır sayısının değiştiği bir sonraki sınırı belirle.
n=50n=50 için 50÷5=1050 \div 5 = 10, 10÷5=210 \div 5 = 2 ve 10+2=1210+2 = 12.
50 sayısı 525^2 (25) ile tam bölündüğü için sıfır sayısı birden fazla artar (10'dan 11'e değil, 12'ye çıkar).
4
nn sayısının alabileceği tüm değerleri listele.
n∈{45,46,47,48,49}n \in \{45, 46, 47, 48, 49\}
45'ten 49'a kadar olan tüm sayıların faktöriyelindeki 5 çarpanı sayısı 10'dur.
5
Değerlerin toplamını hesapla.
45+46+47+48+49=23545 + 46 + 47 + 48 + 49 = 235
Ardışık 5 sayının toplamı ortanca sayı ile terim sayısının çarpımına eşittir (47×5=23547 \times 5 = 235).

Key Concept

Faktöriyel ifadelerinde sondaki sıfır sayısını bulmak için sayı sürekli 5'e bölünür.

Hints

1
Bir sayının faktöriyelinin sonundaki sıfır sayısını bulmak için o sayıyı sürekli 5'e bölmelisiniz.
2
Bölümlerin toplamı 10 olan en küçük sayıyı bulun. Bu sayı 45'tir.
3
45'ten sonraki sayılar (46, 47, 48, 49) da aynı sayıda sıfıra sahiptir. Ancak 50 sayısına ulaştığınızda sıfır sayısı 12'ye çıkar.

Practice More

Sondan 12 basamağı sıfır olan n değerlerinin toplamını bularak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Ardışık sayıların toplamı formülünü kullanabilirsiniz: Ortanca Terim×Terim Sayısı=47×5=235\text{Ortanca Terim} \times \text{Terim Sayısı} = 47 \times 5 = 235.
Estimated Time:1m 15s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Sayma)

More questions from this topic