Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Sayma)
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+3)!−(n+2)!n!+(n+1)!=42 \frac{ (n+3)! - (n+2)! }{ n! + (n+1)! } = 42

eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
  1. A
    4
  2. 5Answer
  3. C
    6
  4. D
    7
  5. E
    42

Answer

Eşitliği sağlayan nn değeri 5'tir.
Verilen rasyonel ifadede pay ve payda ayrı ayrı en küçük faktöriyel parantezine alındığında, ortak çarpanlar sadeleşir ve geriye ardışık iki sayının çarpımı kalır. (n+2)(n+1)=42(n+2)(n+1)=42 eşitliğinden n=5n=5 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki ifadeyi en küçük faktöriyel parantezine al.
(n+3)!−(n+2)!=(n+2)!⋅[(n+3)−1]=(n+2)!⋅(n+2)(n+3)! - (n+2)! = (n+2)! \cdot [(n+3) - 1] = (n+2)! \cdot (n+2)
Faktöriyel işlemlerinde toplama ve çıkarma yapabilmek için ifadeler ortak çarpan parantezine alınmalıdır.
2
Payda kısmındaki ifadeyi en küçük faktöriyel parantezine al.
n!+(n+1)!=n!⋅[1+(n+1)]=n!⋅(n+2)n! + (n+1)! = n! \cdot [1 + (n+1)] = n! \cdot (n+2)
Paydada da benzer şekilde n!n! parantezine alınarak sadeleştirme için hazırlık yapılır.
3
Bulunan ifadeleri denklemde yerine yaz ve sadeleştir.
(n+2)!⋅(n+2)n!⋅(n+2)=42\frac{(n+2)! \cdot (n+2)}{n! \cdot (n+2)} = 42

(n+2)(n+2)
çarpanları sadeleşir:
(n+2)!n!=42\frac{(n+2)!}{n!} = 42
Pay ve paydadaki ortak (n+2)(n+2) çarpanları birbirini götürür.
4
Kalan faktöriyel oranını açarak denklemi çöz.
(n+2)(n+1)n!n!=42\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!} = 42

(n+2)(n+1)=42(n+2)(n+1) = 42
Büyük faktöriyel küçüğüne benzetilerek n!n! sadeleştirilir.
5
Ardışık iki sayının çarpımı 42 olan sayıları bul.
7⋅6=427 \cdot 6 = 42 olduğu için n+2=7n+2=7 ve n+1=6n+1=6 olmalıdır. Buradan n=5n=5 bulunur.
İkinci dereceden denklem çözmek yerine ardışık sayıların çarpımı mantığı kullanılır.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılırken en küçük faktöriyel parantezine alınır.

Hints

1
Pay kısmını (n+2)!(n+2)! parantezine, payda kısmını n!n! parantezine alarak işe başlayın.
2
Paranteze aldığınızda (n+2)(n+2) çarpanının hem pay hem de paydada oluştuğunu göreceksiniz; bunları sadeleştirin.
3
Geriye kalan (n+2)!n!=42\frac{(n+2)!}{n!} = 42 ifadesini (n+2)(n+1)=42(n+2)(n+1) = 42 şeklinde yazıp, çarpımı 42 olan ardışık sayıları düşünün.

Practice More

Benzer bir mantıkla (n+1)!+n!(n+1)!−n!=53\frac{(n+1)! + n!}{(n+1)! - n!} = \frac{5}{3} ise nn kaçtır sorusunu çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Deneme yanılma yöntemi: Şıklardaki değerleri yerine koyarak kontrol edilebilir. Örneğin n=5n=5 için 8!−7!5!+6!=7!(8−1)5!(1+6)=7!⋅75!⋅7=7!5!=42\frac{8!-7!}{5!+6!} = \frac{7!(8-1)}{5!(1+6)} = \frac{7! \cdot 7}{5! \cdot 7} = \frac{7!}{5!} = 42.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Sayma)

More questions from this topic