Examkin

Question

Difficulty: HardBinom Açılımı

(x3−2x2)n\left(x^3 - \frac{2}{x^2}\right)^n ifadesinin açılımındaki terimler xx'in azalan kuvvetlerine göre sıralandığında, baştan 4. terim A⋅x6A \cdot x^6 olmaktadır.

Buna göre, AA gerçel sayısı kaçtır?

  1. A
    -560
  2. -280Answer
  3. C
    -35
  4. D
    280
  5. E
    560

Answer

-280
Soruda verilen (x3−2x2)n(x^3 - \frac{2}{x^2})^n ifadesinin genel terimi (nr)(x3)n−r(−2x−2)r\binom{n}{r} (x^3)^{n-r} (-2x^{-2})^r şeklindedir. Baştan 4. terim dendiği için r=3r=3 alınır. Bu durumda terim (n3)x3n−9(−8)x−6\binom{n}{3} x^{3n-9} (-8) x^{-6} haline gelir. Kuvvetlerin düzenlenmesiyle x3n−15x^{3n-15} elde edilir. Soruda bu terimin x6x^6 içerdiği belirtildiğinden 3n−15=63n-15=6 eşitliğinden n=7n=7 bulunur. Son olarak katsayı hesaplandığında A=(73)⋅(−8)=35⋅(−8)=−280A = \binom{7}{3} \cdot (-8) = 35 \cdot (-8) = -280 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Genel terim formülünü ve verilenleri belirle.
Genel terim: (nr)(x3)n−r(−2x−2)r\binom{n}{r} (x^3)^{n-r} (-2x^{-2})^r. Baştan 4. terim istendiği için r=4−1=3r = 4 - 1 = 3 alınmalıdır.
Binom açılımında (a+b)n(a+b)^n için genel terim (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r şeklindedir ve baştan (r+1)(r+1). terim hesaplanır.
2
Genel terim ifadesini düzenle ve x'in kuvvetini bul.
(n3)(x3)n−3(−2x−2)3=(n3)x3n−9(−8)x−6=−8(n3)x3n−15\binom{n}{3} (x^3)^{n-3} (-2x^{-2})^3 = \binom{n}{3} x^{3n-9} (-8) x^{-6} = -8 \binom{n}{3} x^{3n-15}
Katsayıları ve değişkenlerin üslerini ayrıştırarak xx'in net kuvvetini belirlemek gerekir.
3
Elde edilen x kuvvetini soruda verilen x6x^6 ile eşitleyerek n değerini bul.
3n−15=6⇒3n=21⇒n=73n - 15 = 6 \Rightarrow 3n = 21 \Rightarrow n = 7
Soruda terimin A⋅x6A \cdot x^6 olduğu belirtilmiştir.
4
Bulunan n değerini yerine yazarak A katsayısını hesapla.
A=−8⋅(73)=−8⋅7⋅6⋅53⋅2⋅1=−8⋅35=−280A = -8 \cdot \binom{7}{3} = -8 \cdot \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = -8 \cdot 35 = -280
İstenen A değeri, terimin önündeki tüm sayısal çarpanların çarpımıdır.

Key Concept

Binom açılımında genel terim formülü kullanılarak bilinmeyen n sayısının ve katsayının bulunması.

Hints

1
Binom açılımında (a+b)n(a+b)^n ifadesinin genel terimi (nr)⋅an−r⋅br\binom{n}{r} \cdot a^{n-r} \cdot b^r formülüyle bulunur.
2
Baştan 4. terimi bulmak için genel terim formülünde rr yerine 3 yazmalısınız (Çünkü saymaya r=0r=0'dan başlanır).
3
Terimi düzenledikten sonra xx'in kuvvetini 3n−153n - 15 olarak bulacaksınız. Bunu 6'ya eşitleyerek önce nn'yi bulun.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Binom Açılımı

More questions from this topic