Examkin

Question

Difficulty: HardFaktöriyel (Sayma)
aa ve bb pozitif tam sayılardır.
42!=24a⋅b 42! = 24^a \cdot b

eşitliğinde bb sayısı çift bir tam sayı olduğuna göre, aa'nın alabileceği en büyük değer kaçtır?
  1. A
    10
  2. 12Answer
  3. C
    13
  4. D
    19
  5. E
    39

Answer

eşitlikte bb sayısının çift kalabilmesi için aa en fazla 12 olabilir
42! sayısı 24a⋅b24^a \cdot b şeklinde yazıldığında, aa'nın en büyük değeri için hem 2 hem de 3 çarpanlarının yeterli olması gerekir. 24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3 olduğundan, her bir aa için üç adet 2 ve bir adet 3 çarpanına ihtiyaç vardır. 42! içinde 39 adet 2 çarpanı ve 19 adet 3 çarpanı bulunur. Normal şartlarda 3a≤393a \le 39 işleminden a=13a=13 bulunabilirdi. Ancak soruda bb'nin çift sayı olduğu belirtilmiştir. Bu, bb sayısının içinde en az bir adet 2 çarpanı kalması gerektiği anlamına gelir. Dolayısıyla 24a24^a için kullanılabilecek 2 çarpanı sayısı en fazla 39−1=3839-1=38 olabilir. 3a≤383a \le 38 eşitsizliğinden aa en fazla 12 olabilir.

Step-by-Step Solution

1
24 sayısını asal çarpanlarına ayır.
24=23⋅3124 = 2^3 \cdot 3^1
42! içindeki 2 ve 3 çarpanlarının sayısını bularak aa'nın sınırını belirlemek için.
2
42! içerisindeki 3 çarpanlarının sayısını hesapla.
Bölümler toplamı: 14+4+1=1914 + 4 + 1 = 19. Yani a≤19a \le 19.
24a24^a ifadesindeki 3a3^a için gerekli 3 sayısı.
3
42! içerisindeki 2 çarpanlarının sayısını hesapla.
Bölümler toplamı: 21+10+5+2+1=3921 + 10 + 5 + 2 + 1 = 39.
24a24^a ifadesindeki 23a2^{3a} için gerekli 2 sayısı.
4
bb sayısının çift olma şartını değerlendir.
bb çift ise, bb içinde en az bir adet 2 çarpanı kalmalıdır. Kullanılabilir 2 sayısı: 39−1=3839 - 1 = 38.
Eğer tüm 2 çarpanları 24a24^a içine alınırsa, geriye kalan bb sayısı tek olur.
5
2 çarpanı için aa değerini sınırla.
3a≤38  ⟹  a≤12,66...3a \le 38 \implies a \le 12,66... Buradan amax=12a_{max} = 12.
Her bir aa değeri için 3 adet 2 çarpanı gereklidir (23a2^{3a}).
6
Sınırları karşılaştır ve sonucu belirle.
3 çarpanına göre a≤19a \le 19, 2 çarpanına göre a≤12a \le 12. Küçük olan değer 12'dir.
Her iki asal çarpanın da yeterli sayıda olması gerekir.

Key Concept

Faktöriyel içindeki asal çarpan sayısını bulma ve bölen analizi

Hints

1
Önce 24 sayısını asal çarpanlarına ayırın (23⋅32^3 \cdot 3). Bu, aa tane 24 elde etmek için kaçar tane 2 ve 3 gerektiğini gösterir.
2
42! sayısının içinde toplam kaç tane 2 çarpanı olduğunu zincirleme bölme yöntemiyle bulun.
3
bb sayısının çift olması demek, eldeki tüm 2 çarpanlarını 24a24^a için harcamamanız, en az bir tanesini bb'ye ayırmanız gerektiği anlamına gelir.

Practice More

Benzer bir soruyu 'b sayısı 3'e tam bölünmektedir' şartıyla çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Sağlamasını yapmak için: a=13a=13 olsaydı, kullanılan 2 sayısı 13×3=3913 \times 3 = 39 olurdu. 42! içindeki toplam 2 sayısı da 39'dur. Hiç 2 artmazdı, bu da kalan sayının (bb) tek olmasına neden olurdu.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Faktöriyel (Sayma)

More questions from this topic