\left( x^2 - \frac{1}{x} \right)^n ifadesinin açılımında baştan 4. terimin binom katsayısı… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

\left( x^2 - \frac{1}{x} \right)^n

ifadesinin açılımında baştan 4. terimin binom katsayısı ile baştan 6. terimin binom katsayısı birbirine eşittir.

Buna göre, bu açılımdaki $x^7$ li terimin katsayısı kaçtır?

-56

Soruda verilen binom katsayılarının eşitliği (

\binom{n}{3} = \binom{n}{5}

) kullanılarak n=8 bulunur. Genel terim formülü

\binom{8}{r} (x^2)^{8-r} (-x^{-1})^r

şeklinde yazılıp x'in kuvveti

16-3r=7

eşitliğinden

r=3

olarak elde edilir. Yerine konulduğunda katsayı

\binom{8}{3}(-1)^3 = -56

sonucuna ulaşılır.

n değerini bulmak için binom katsayılarının eşitliği özelliğini kullan.

Baştan 4. terim için r=3, baştan 6. terim için r=5 alınır.

\binom{n}{3} = \binom{n}{5}

ise

n = 3 + 5 = 8

bulunur.

Binom açılımında

\binom{n}{r} = \binom{n}{k}

ise ya

r=k

ya da

r+k=n

olmalıdır.

Genel terim formülünü yaz ve x'in kuvvetini düzenle.

Genel terim:

\binom{8}{r} (x^2)^{8-r} (-\frac{1}{x})^r = \binom{8}{r} x^{16-2r} (-1)^r x^{-r} = \binom{8}{r} (-1)^r x^{16-3r}

İstenen kuvveti elde etmek için tüm x terimleri birleştirilmelidir.

x'in kuvvetini 7'ye eşitleyerek r değerini bul.

16 - 3r = 7 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3

Soruda

x^7

li terimin katsayısı sorulmaktadır.

Bulunan r değerini katsayı formülünde yerine koy.

Katsayı =

\binom{8}{3} (-1)^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (-1) = 56 \cdot (-1) = -56

Katsayı hem binom katsayısını hem de terimlerin sayısal çarpanlarını içerir.

Binom açılımında

\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}

simetrisi ve genel terim formülü

T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r

Question