Examkin

Question

Difficulty: HardMutlak Değer
a,ba, b ve cc sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere;
∣a∣=−a |a| = -a
∣b∣=b |b| = b
∣a∣>b |a| > b
c<a c < a
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,
∣a+b∣+∣b−c∣−∣c−a∣ |a+b| + |b-c| - |c-a|
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
  1. -2aAnswer
  2. B
    2b
  3. C
    -2c
  4. D
    2a
  5. E
    2b - 2c

Answer

-2a ifadesi doğrudur.
Verilen koşullara göre aa negatif, bb pozitiftir ve aa'nın mutlak değeri daha büyüktür, bu yüzden a+ba+b negatiftir. Sayı doğrusu sıralaması c<a<0<bc < a < 0 < b şeklindedir. Buna göre mutlak değerler dışarı (−a−b)+(b−c)−(−c+a)(-a-b) + (b-c) - (-c+a) şeklinde çıkarılır. Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında bb ve cc terimleri birbirini götürür ve sonuç −2a-2a bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliklerden a ve b sayılarının işaretlerini belirle.
∣a∣=−a|a| = -a olduğundan a<0a < 0 (negatif) olmalıdır. ∣b∣=b|b| = b olduğundan b>0b > 0 (pozitif) olmalıdır.
Mutlak değer içi negatifse eksi ile çarpılarak, pozitifse aynen çıkar.
2
Sayıların sayı doğrusundaki sıralamasını ve büyüklük ilişkilerini analiz et.
c<a<0<bc < a < 0 < b sıralaması mevcuttur. Ayrıca ∣a∣>b|a| > b bilgisi, a'nın sıfıra olan uzaklığının b'den fazla olduğunu gösterir.
Bu sıralama mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini belirlemek için gereklidir.
3
Verilen ifadedeki mutlak değerlerin içindeki işaretleri tespit et.
1. ∣a+b∣|a+b|: aa negatif, bb pozitif ama ∣a∣>b|a| > b olduğundan toplam negatiftir (a+b<0a+b < 0).
2. ∣b−c∣|b-c|: bb en sağda, cc en solda olduğundan b>cb > c ve b−c>0b-c > 0 (pozitif).
3. ∣c−a∣|c-a|: c<ac < a olduğundan c−a<0c-a < 0 (negatif).
Mutlak değer dışına çıkarma kuralını uygulamak için işaret tespiti şarttır.
4
Mutlak değerleri işaretlerine göre dışarı çıkar ve sadeleştir.
∣a+b∣=−(a+b)=−a−b|a+b| = -(a+b) = -a-b
∣b−c∣=+(b−c)=b−c|b-c| = +(b-c) = b-c
∣c−a∣=−(c−a)=−c+a|c-a| = -(c-a) = -c+a

Toplam: (−a−b)+(b−c)−(−c+a)(-a-b) + (b-c) - (-c+a)
Negatif ifadeler eksi ile çarpılarak, pozitifler aynen çıkarılır.
5
Cebirsel toplama işlemini tamamla.
−a−b+b−c+c−a=−2a-a - b + b - c + c - a = -2a
Benzer terimler toplanır: b'ler ve c'ler birbirini götürür, geriye -2a kalır.

Key Concept

Mutlak değerin tanımı ve eşitsizliklerde işaret analizi

Hints

1
Önce verilen eşitlikleri kullanarak a ve b sayılarının işaretlerini (+ veya -) belirleyiniz.
2
∣a∣>b|a| > b eşitsizliği, a negatif olsa bile sayısal değerinin (sıfıra uzaklığının) b'den büyük olduğunu gösterir. Bu durumda a+ba+b toplamının işareti ne olur?
3
Mutlak değer içindeki ifade negatifse dışarı önüne eksi (-) alarak, pozitifse aynen çıkar. a+b<0a+b < 0, b−c>0b-c > 0 ve c−a<0c-a < 0 bilgisini kullanın.

Practice More

Mutlak değerli eşitsizliklerde ∣x−2∣<5|x-2| < 5 gibi aralık bulma sorularını inceleyin.

Alternative Method

Değer Verme Yöntemi: Koşulları sağlayan sayılar seçebilirsiniz. Örneğin a=−5,b=3,c=−6a = -5, b = 3, c = -6 olsun. ∣a∣=5,−a=5|a|=5, -a=5 (sağlar), ∣b∣=3|b|=3 (sağlar), 5>35>3 (sağlar), −6<−5-6<-5 (sağlar). İfade: ∣−5+3∣+∣3−(−6)∣−∣−6−(−5)∣=∣−2∣+∣9∣−∣−1∣=2+9−1=10|-5+3| + |3-(-6)| - |-6-(-5)| = |-2| + |9| - |-1| = 2 + 9 - 1 = 10. Seçeneklerde a=−5a=-5 yerine konursa: -2a = -2(-5) = 10. Sonuç doğrulanır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Mutlak Değer

More questions from this topic