Examkin

Question

Difficulty: HardMutlak Değer

∣x2−2x−15∣=∣x−5∣|x^2 - 2x - 15| = |x - 5| eşitliğini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    -6
  2. -1Answer
  3. C
    3
  4. D
    5
  5. E
    9

Answer

Denklemi sağlayan farklı değerlerin toplamı -1'dir.
Denklemi çarpanlarına ayırdığımızda ∣x−5∣(∣x+3∣−1)=0|x-5|(|x+3|-1)=0 elde ederiz. Buradan ∣x−5∣=0|x-5|=0 durumundan x=5x=5 kökü gelir. ∣x+3∣=1|x+3|=1 durumundan ise x=−2x=-2 ve x=−4x=-4 kökleri gelir. Bu üç değerin toplamı 5+(−2)+(−4)=−15 + (-2) + (-4) = -1 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Mutlak değer içindeki ikinci dereceden ifade çarpanlarına ayrılır.
x2−2x−15=(x−5)(x+3)x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3) olduğu için denklem ∣(x−5)(x+3)∣=∣x−5∣|(x-5)(x+3)| = |x-5| halini alır.
İfadeleri sadeleştirmek ve ortak terimleri görmek için çarpanlara ayırma gereklidir.
2
Mutlak değerin çarpım kuralı ∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣|a \cdot b| = |a| \cdot |b| uygulanır.
∣x−5∣⋅∣x+3∣=∣x−5∣|x-5| \cdot |x+3| = |x-5| elde edilir.
Denklemi çözülebilir basit çarpanlara ayırmak için bu özellik kullanılır.
3
Eşitliğin sağındaki ifade sol tarafa atılarak ortak paranteze alınır.
∣x−5∣⋅∣x+3∣−∣x−5∣=0⇒∣x−5∣⋅(∣x+3∣−1)=0|x-5| \cdot |x+3| - |x-5| = 0 \Rightarrow |x-5| \cdot (|x+3| - 1) = 0.
Doğrudan sadeleştirme yapmak (bölmek) kök kaybına neden olacağından, terimler bir tarafta toplanarak çarpanlarına ayrılmalıdır.
4
Her bir çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.
1. Durum: ∣x−5∣=0⇒x=5|x-5|=0 \Rightarrow x=5.
2. Durum: ∣x+3∣−1=0⇒∣x+3∣=1|x+3|-1=0 \Rightarrow |x+3|=1.
Bir çarpımın sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
5
İkinci durumdaki mutlak değer denklemi çözülür.
∣x+3∣=1|x+3|=1 ise x+3=1⇒x=−2x+3=1 \Rightarrow x=-2 veya x+3=−1⇒x=−4x+3=-1 \Rightarrow x=-4.
Mutlak değerli bir ifade pozitif bir sayıya eşitse, içindeki ifade sayının kendisine veya negatifine eşittir.
6
Bulunan tüm farklı kökler toplanır.
Kökler: 5,−2,−45, -2, -4. Toplam: 5+(−2)+(−4)=−15 + (-2) + (-4) = -1.
Soruda tüm farklı xx gerçel sayılarının toplamı istenmiştir.

Key Concept

Mutlak değerli denklemlerde, ortak çarpan içeren ifadeler sadeleştirilirken kök kaybı (kökün 0 olma durumu) dikkate alınmalıdır.

Hints

1
Denklemdeki ∣x2−2x−15∣|x^2 - 2x - 15| ifadesini çarpanlarına ayırarak yazmayı deneyin.
2
∣x−5∣⋅∣x+3∣=∣x−5∣|x-5| \cdot |x+3| = |x-5| eşitliğini elde ettikten sonra, her iki tarafta da bulunan ∣x−5∣|x-5| ifadesini sadeleştirmek yerine paranteze alarak çözün.

Alternative Method

Denklemi iki ana duruma ayırarak da çözebilirsiniz: ∣x2−2x−15∣=x−5|x^2 - 2x - 15| = x - 5 (sağ taraf pozitifse) veya ∣x2−2x−15∣=−(x−5)|x^2 - 2x - 15| = -(x - 5). Ancak bu yöntem daha fazla işlem adımı ve kontrol gerektirir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Mutlak Değer

More questions from this topic